msleziak.com

10. týždeň (13.4.)
Podobnosť matíc
Chvíľu sme sa rozprávali o tom, ako podobnosť matíc súvisí s tým, že ide o maticu toho istého zobrazenia v dvoch rôznych bázach.

Ukázali sme, že podobné matice majú rovnakú stopu, determinant, hodnosť. Pri tom sme použili (a dokázali) aj to, že $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.

Začali sme s nejakými úlohami na podobnosť matíc z 05podob.pdf.
Pozreli sme sa na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Urobili sme príklad a z úlohy 1.1. Nejaké takéto úlohy (vrátane tých, čo sme urobili na cviku) nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655
Pri tejto úlohe sme tiež videli ako hľadať vlastné čísla a vlastné vektory. (A tiež sme si spomenuli nejaké výsledky o tom, kedy je matica diagonalizovateľná - mali by byť čoskoro na prednáške.)
Na hľadanie diagonálnej matice podobnej so zadanou maticou sme sa pozreli aj pre maticu $3\times3$ v úlohe 2.2a. (Tu sme ale stihli iba vypočítať charakteristický polynóm a vlastné čísla.)

Teraz budeme často potrebovať pri riešení nejakých úloh nájsť korene charakteristického polynómu - často to bude polynóm vyššieho stupňa než druhého. Tu sú nejaké veci, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091

Neviem, či sa k tomu stihnem niekedy dostať, ale pridám aspoň linku na rekurencie ako ukážku problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639

Počas cvika sme na chvíľu odbočili aj k tomu, že aj pre nekonečnorozmerné priestory sa dá zmysluplne definovať báza a dimenzia - tu to už ale môžu byť aj nekonečné kardinálne čísla. Kľúčové slovo, pomocou ktorého môžete o tejto téme nájsť viac, je Hamelova báza.

27.4. bola ŠVK (dekanské voľno)

12. týždeň (4.5.)
Jordanov tvar
Pozerali sme sa na veci z 06jordan.pdf.

Pozreli sme sa najprv na mocniny jedného Jordanovho bloku (a špeciálne na prípad, keď $\lambda=0$). T.j. na mocniny takýchto matíc:
$$N=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $J^n=(\lambda I+N)^n$.

Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (súčasná revízia)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?

Na základe toho sme si vedeli rozmyslieť, že hodnosti mocnín matice $J-\lambda I$ (resp. $A-\lambda I$) nám určia počty blokov rôznych veľkostí v Jordanovom tvare: viewtopic.php?t=1688


Našli sme Jordanov tvar pre maticu $$A=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 2 & 1 \\
1 &-5 & 3 & 2 \\
-1 & 5 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509

Najprv sme našli charakteristický polynóm a jeho korene, dostali sme $\chi_A(t)=(t-3)^4$. Pripomenul som pár vecí, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
Ako čiastočnú "skúšku správnosti" si môžeme skontrolovať, že súčet koreňov (vlastných hodnôt) je stopa a súčin nám dáva determinant: viewtopic.php?t=642 (A tiež ak skúsime nájsť vlastné vektory k $\lambda$, tak tým opäť skontrolujeme, či $\lambda$ je skutočne vlastná hodnota.)

Potom sme postupovali tak, že sme počítali mocniny matice $(A-3I)$ a ich hodností sme vedeli vyčítať veľkosti blokov. Takto sme našli Jordanov tvar.
$$J=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$$

Pripomenuli sme niektoré základné veci o minimálnom polynóme. (Vždy platí $m_A(x)\mid \chi_A(x)$, každá vlastná hodnota je koreňom $m_A(x)$, podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657)
Z Jordanovho tvaru aj z výpočtov mocnín matice $A-3I$ sme videli, že $m_A(t)=(t-3)^3$. (O trochu komplikovanejšie je uvedomiť si ako vyzerá minimálny polynóm v prípade, že máme viacero rôznych vlastných hodnôt.)

Pozreli sme sa aj na to, ako sme v tomto prípade vedeli nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$.
Nie je to jediná možnosť, ako postupovať - tu sme videli, že pre riadky matice $P$ zodpovedajúce bloku $3\times3$ sme z podmienky $PA=JP$ dostali, že $\vec p_3$ je vlastný vektor, t.j. $\vec p_3(A-3I)=\vec0$, a súčasne
\begin{align*}
\vec p_2&=\vec p_1(A-3I)\\
\vec p_3&=\vec p_1(A-3I)^2
\end{align*}
Ak sme $\vec p_1$ zvolili tak, že $\vec p_3=\vec p_1(A-3I)^2$ je nenulový vektor, tak sme skutočne dostali, že $\vec p_3$ je vlastný vektor matice $A$.
Potom sme ako zostávajúci riadok $\vec p_4$ pridali nejaký vlastný vektor, ktorý nie je násobkom $\vec p_3$.

Síce sú to témy, ku ktorým sa na cviku nedostaneme (okrem písomky dnes bolo posledné cviko), ale aj tak spomeniem, že na stránke sú príklady k nejakým ďalším témam a pridám tu nejaké linky. (Možno nie všetky z nich budú na prednáške - ale aj tak sa môže stať, že niekoho z vás možno budú zaujímať.)

• Aj k týmto témam sú nejaké linky s riešenými úlohami zozbierané tu: viewtopic.php?t=1509
• Kanonický tvar kvadratickej formy: napríklad viewtopic.php?t=677 a viewtopic.php?t=678
• Ortogonálna podobnosť: napríklad viewtopic.php?t=893 a viewtopic.php?t=893
• K ortogonálnej podobnosti pridám aj linku na toto video: https://web.microsoftstream.com/video/9 ... 7fa1c7985a Malo by byť prístupné pre ľudí v rámci univerzity.
• Kladná a záporná definitnosť súvisí s hľadaním maxima/minima pre funkcie viac premenných: viewtopic.php?t=1428
• Pri počítaní úloh na ortogonálnu podobnosť môže byť užitočný fakt, že pre symetrickú maticu sú vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám navzájom kolmé: viewtopic.php?t=1691
• Na fóre je vyriešených viacero úloh, kde treba nájsť stred, osi, asymptoty pre nejakú krivku druhého rádu: viewtopic.php?t=901, viewtopic.php?t=902, viewtopic.php?t=903, viewtopic.php?t=909, viewtopic.php?t=910