msleziak.com

11. týždeň (26.4.)

Podobnosť matíc
Venovali sme sa úlohám na podobnosť matíc z 07podob.pdf.

Keďže sme to viackrát využili na overenie, či máme správne hodnoty, pridám link na post o tom, že súčet koreňov charakteristického polynómu je stopa a ich súčin je determinant: viewtopic.php?t=642
S týmto súvisia Vietove vzťahy, ktoré hovoria o vzťahu koreňov a koeficientov.
My sme si to síce zdôvodniť nestihli - ale ak treba, môžeme sa k tomu ešte vrátiť.
Na cviku sme si rozmysleli aspoň to, že takéto rovnosti dostaneme pomerne ľahko, ak by sme mali k dispozícii to, že naša matica je podobná s diagonálnou maticou. (Resp. to isté zdôvodnenie funguje bez zmeny, ak je zadaná matica podobná s nejakou hornou trojuholníkovou maticou.)

Na hľadanie diagonálnej matice podobnej so zadanou maticou sme sa pozreli pre maticu $3\times3$ v úlohe 2.2b a v úlohe 2.2f.
Pri tejto úlohe sme tiež videli ako hľadať vlastné čísla a vlastné vektory. (A tiež sme si spomenuli nejaké výsledky o tom, kedy je matica diagonalizovateľná. Konkrétne ako postačujúcu podmienku sme spomenuli to, že máme n navzájom rôznych vlastných hodnôt. Nutná a postačujúca podmienka je existencia bázy zostavenej z vlastných vektorov.)

Teraz budeme často potrebovať pri riešení nejakých úloh nájsť korene charakteristického polynómu - často to bude polynóm vyššieho stupňa než druhého. Tu sú nejaké veci, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
Ukázali sme si aj to, ako sa dá použiť Hornerova schéma: viewtopic.php?t=1092

Pozreli sme sa na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Urobili sme príklad a z úlohy 1.1. A viac-menej sme stihli dokončiť aj časť b.
Nejaké takéto úlohy (vrátane tých, čo sme urobili na cviku) nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655

Neviem, či sa k tomu stihnem niekedy dostať, ale pridám aspoň linku na rekurencie ako ukážku problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639

12. týždeň (3.5.)
Keďže budúci týždeň je písomka, tak stredajšie cviko môže poslúžiť na opakovanie pred písomkou - ak budete mať pripravené nejaké veci, ku ktorým sa budete chcieť vrátiť, tak sa môžeme venovať tým. (A ak nebudete mať nič takéto, budeme preberať ďalšie veci.)

Podobnosť matíc
Venovali sme sa úlohám na Jordanov tvar z 08jordan.pdf.

Pozreli sme sa najprv na mocniny jedného Jordanovho bloku (a špeciálne na prípad, keď $\lambda=0$). T.j. na mocniny takýchto matíc:
$$N=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
J=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $J^n=(\lambda I+N)^n$.

Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (súčasná revízia)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?

Na základe toho sme si vedeli rozmyslieť, že hodnosti mocnín matice $J-\lambda I$ (resp. $A-\lambda I$) nám určia počty blokov rôznych veľkostí v Jordanovom tvare: viewtopic.php?t=1688

Našli sme Jordanov tvar pre maticu $$A=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 2 & 1 \\
1 &-5 & 3 & 2 \\
-1 & 5 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
A tiež sme si rozmysleli, ako vieme z Jordanovho tvaru nájsť aj minimálny polynóm $m_A(x)$.
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509

Najprv sme našli charakteristický polynóm a jeho korene, dostali sme $\chi_A(t)=(t-3)^4$. Pripomenul som pár vecí, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
Ako čiastočnú "skúšku správnosti" si môžeme skontrolovať, že súčet koreňov (vlastných hodnôt) je stopa a súčin nám dáva determinant: viewtopic.php?t=642 (A tiež ak skúsime nájsť vlastné vektory k $\lambda$, tak tým opäť skontrolujeme, či $\lambda$ je skutočne vlastná hodnota.)

Na konci sme sa ešte pozreli na úlohu 6a - tam bol zadaný minimálny polynóm a chceli sme vedieť, aké sú možnosti pre Jordanov tvar.

13. týždeň (10.5.)
Dnešné cviko bolo ako opakovanie pred písomkou - čiže sme sa venovali príkladom, na ktoré ste sa chceli spýtať Vy.
Konkrétne sme robili:
* Aproximácia daných bodov priamkou. (Konkrétne ten príklad, ktorý je v PÚ.) Úloha tohto typu s inými číslami je vyriešená tu: viewtopic.php?t=1433 (A napíšem aj to, že priamo príklad z prednáškových úloh je vyriešený v knihe Lay: Linear Algebra and Its Applications.)
* Vzdialenosť roviny a priamky: Robili sme úlohu, ktorá bola na odovzdávanie na výberovom cviku. Viacero úloh na vzdialenosť priamky a roviny v $\mathbb R^4$ je vyriešených na fóre: viewtopic.php?t=1682
* Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia vzhľadom na danú bázu. (Konkrétne sme si zobrali príklad z PÚ9 - aj keď tam bola otázka iba zistiť determinant matice zobrazenia; to sa dalo spraviť aj bez výpočtu tejto matice.)

*****

Keby nebolo "opakovacie" cvičenie, tak by sme sa venovali kvadratickým formám. T.j. napríklad nájsť pre danú kvadratickú formu (resp. symetrickú maticu) kanonický tvar - jedna dopĺňaním na štvorec alebo pomocou riadkových a stĺpcových úprav. (A tiež by sme sa pozreli na to, ako z toho dostaneme $P_1AP_1^T=D$ resp. $P_2DP_2^T=A$ pre nejakú regulárnu maticu $P_1$ resp. $P_2$.)
Viacero takýchto príkladov je vyriešených na fóre - opäť ich nájdete v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Špeciálne upozorním na tento príklad: viewtopic.php?t=677 Tam je totiž kvadratická forma, kde sú všetky diagonálne prvky nulové. Takýto prípad ste v dôkaze na prednáške neriešili.

Kladná a záporná definitnosť súvisí s hľadaním maxima/minima pre funkcie viac premenných: viewtopic.php?t=1428

Síce sú to témy, ku ktorým sa na cviku nedostaneme (okrem písomky dnes bolo posledné cviko), ale aj tak spomeniem, že na stránke sú príklady k nejakým ďalším témam a pridám tu nejaké linky. (Možno nie všetky z nich budú na prednáške - ale aj tak sa môže stať, že niekoho z vás možno budú zaujímať.)

• Aj k týmto témam sú nejaké linky s riešenými úlohami zozbierané tu: viewtopic.php?t=1509
• Ortogonálna podobnosť: napríklad viewtopic.php?t=893 a viewtopic.php?t=893
• K ortogonálnej podobnosti pridám aj linku toto video. Malo by byť prístupné pre ľudí v rámci univerzity.
• Pri počítaní úloh na ortogonálnu podobnosť môže byť užitočný fakt, že pre symetrickú maticu sú vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám navzájom kolmé: viewtopic.php?t=1691
• Na fóre je vyriešených viacero úloh, kde treba nájsť stred, osi, asymptoty pre nejakú krivku druhého rádu: viewtopic.php?t=901, viewtopic.php?t=902, viewtopic.php?t=903, viewtopic.php?t=909, viewtopic.php?t=910