msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Budem sa snažiť s oboma skupina robiť dosť podobné veci, čiže snáď sa to bude dať zmysluplne písať do toho istého topicu.

Určite cvičenia nebudú úplne presne totožné s tým, čo sme robili po minulé roky. Ak sa chcete pozrieť, čo sa robilo na cvičeniach v minulosti, môžete sa pozrieť sem:
viewtopic.php?t=1572
viewtopic.php?t=1304 a viewtopic.php?t=1305
viewtopic.php?t=1141
viewtopic.php?t=716
viewtopic.php?t=311

1. cvičenie: (27.9.)
Na prvom cvičení bola vlastne viac-menej prednáška - prebrali sme funkcie.
Stihli sme: Definíciu karteziánskeho súčinu, zobrazenia.
Definícia skladania zobrazení. Vyskúšali sme si na príklade $f(x)=\sin x$ a $g(x)=x^2$ to, že skladanie zobrazení vo všeobecnosti
Injektívne, surjektívne, bijektívne zobrazenia. (Pri definícii injekcie sme spomenuli obmenu implikácie - a vlastne sme definíciu sformulovali dvoma ekvivalentnými spôsobmi. Povedali sme si, ako pre funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$ vidíme injektívnosť či surjektívnosť z grafu - horizontal line test.)
Zloženie injekcií, (surjekcií, bijekcií) je opäť injekcia (surjekcia, bijekcia). Pre injekcie sme to stihli aj dokázať.

Veci, ktoré sme spomínali sú aj v texte na stránke. Slajdy, ktoré som používal, sú tu: 21zobr.pdf.

2. cvičenie: (4.10.)
Pripomeniem, že budúci týždeň sa na cvičení odovzdáva du01.

Zobrazenia
Definícia inverzného zobrazenia.
Dokázali sme, že k zobrazeniu $f$ existuje inverzné zobrazenie, práve vtedy, keď $f$ je bijekcia.
Pozreli sme sa na pojem ľavé inverzné zobrazenia a pravé inverzné zobrazenie. Videli sme príklady, kedy existovalo viacero ľavých inverzných zobrazení resp. viacero pravých inverzných zobrazení.
Pridám ešte sem aj linku na dôkaz tvrdenia o tom, aký je súvis injektívnosti/surjektívnosti s existenciou ľavého či pravého inverzného zobrazenia: viewtopic.php?t=68 (Táto vec je v texte uvedená medzi cvičeniami.)
Ešte som povedal bez dôkazu, že platí $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Permutácie
Definícia permutácie, dvojriadkový zápis. Skladanie permutácií, inverzná permutácia.
Rozmysleli sme si, že $(S_3,\circ)$ je grupa, ktorá nie je komutatívna. (Na budúcom cvičení sa budeme venovať binárnym operáciám a grupám - ak by bolo treba, tak sa môžeme vrátiť aj k tomuto príkladu.)

Slajdy, ktoré som používal, sa dajú nájsť tu: https://msleziak.com/vyuka/2024/alg1cvika/21zobr.pdf a https://msleziak.com/vyuka/2024/alg1cvika/23perm.pdf
V texte k prednáške sme teda vlastne prešli časti 2.2.2 a 2.3. (S výnimkou toho, že sme sa nerozprávali o tom, ako pre permutácie môžeme definovať $\varphi^n$.)

3. cvičenie: (11.10.)
Tu sú príklady, ktoré som doniesol na cvičenia: 02binop.pdf. (Až na pár výnimiek sú to vlastne iba vybraté niektoré príklady spomedzi tých, ktoré sú v texte na stránke.)

Grupy
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy a spomenuli niektoré jednoduché príklady (číselné množiny s obvyklým sčitovaním alebo násobením).

Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R$ resp. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 3.2.1h a 3.2.3 v texte.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=495 (Píše sa tam niečo o izomorfizme grúp - tento pojem sa tento semester nebudeme preberať. Ale nejaký intuitívny pohľad na to, čo znamená že dve grupy sú izomorfné, by sa dal získať aj keď človek vie o grupách iba základné veci.)

Ako jeden príklad nekomutatívnej grupy sme vlastne už videli $(S_3,\circ)$, t.j. permutácie na trojprvkovej množine so skladaním. (Aj keď o nich sme stihli iba veľmi stručne niečo povedať na konci minulého cvika.)
Pozreli sme sa na množinu všetkých zobrazení tvaru $f_{a,b}(x)=ax+b$, $f_{a,b}\colon\mathbb R\to\mathbb R$ takých, kde $a\ne0$. Ukázali sme si, že to je grupa, ktorá nie je komutatívna. (Je to vlastne jedna časť úlohy 3.2.4. Táto úloha je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=2108

4. cvičenie: (18.10.)
Pripomeniem, že na stránke prednášajúceho pribudla du02, ktorá sa odovzdáva na budúcom cviku.
K du01 sú nejaké veci na fóre napísané tu:
viewtopic.php?t=1989
viewtopic.php?t=736

Polia.
Rátali sme niektoré príklady z 03polia.pdf. (Tie isté príklady sú aj v poznámkach k prednáške, ktoré máte na stránke.)
Overili sme, že $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole (ak berieme obvyklé sčitovanie a násobnie.)
Pripomeniem, že v tejto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}

Pozreli sme sa na úlohu o tom, že $\mathbb Q\times\mathbb Q$ s operáciami tvorí pole $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b)\cdot(c,d)=(ac+2bd,ad+bc)$. (Sústredili sme sa ale hlavne na vlastnosti násobenia. Pričom asociatívnosť sme iba začali overovať.)
Časť týkajúca sa multiplikatívnej grupy tohto poľa sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1163
Tiež sme sa porozprávali o tom, že toto pole je "v podstate to isté" ako pole $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$. (Neformálny popis "v podstate to isté" by sa dal nahradiť slovom izomorfné. Takýto pojem sme zatiaľ nedefinovali, ale objaví sa na tejto prednáške pre vektorové priestory.)

V tejto sade úloh sú aj otázky, ktoré vyzerajú do istej miery podobne ako prvá úloha, ktorú sme robili.
Spomenul som, že platí:

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

(Aj keď úlohy o $F_2$ a $F_3$ sú čosi náročnejšie.)
Na cvičení sme si stihli rozmyslieť z týchto úloh iba to, že $\sqrt 3\notin F_1$, t.j. $\sqrt 3$ sa nedá vyjadriť v tvare $a+b\sqrt2$ pre racionálne $a$, $b$.

5. cvičenie: (25.10.)
Pripomeniem, že na stránke prednášajúceho pribudla du03, ktorá sa odovzdáva na budúcom cviku.

Rátali sme niektoré príklady z 04vpr.pdf. (Tie isté príklady sú aj v poznámkach k prednáške, ktoré máte na stránke.)
Podpriestory.
Niekoľko úloh typu zistiť, či daná podmnožina $\mathbb R^3$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$ je podpriestor.
Konkrétne v $\mathbb R^3$ sme sa pozreli na:
a) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; x_1\in \mathbb Z \}$
b) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; x_1=0 \}$
c) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; x_1=0 \lor x_2=0 \}$
d) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; 3x_1+4x_2=1\}$
j) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; x_1+x_2+x_3=0\}$
k) $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3; x_1+2x_2+3x_3=0, 3x_1+2x_2+x_3=0\}$
Pri funkciách z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ sme sa pozreli na to, že dostaneme podpriestor pre funkcie také, že $2f(0)=f(1)$. Ale nie pre nezáporné funkcie.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to, že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.
Úloha 2.5: Ekvivalentná podmienka pre podpriestor je, že $c\vec\alpha+\vec\beta\in S$ pre všetky $c\in F$ a $\vec\alpha,\vec\beta\in S$.
Úloha 2.6: Pre podpriestory platí: $S\cup T$ je podpriestor $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$: viewtopic.php?t=820

6. cvičenie: (7.11.)
Pre istotu ešte raz pripomeniem, že budúci týždeň je písomka. Info k písomke vám písal prednášajúci.

Venovali sme sa úlohám z 05lk.pdf. (Tie isté úlohy sa dajú nájsť aj v texte na stránke.)

Lineárna závislosť a nezávislosť. Pripomenuli sme definíciu lineárnej (ne)závislosti a porozprávali sme sa o tom, čo nám táto definícia dá pre jeden, dva resp. tri vektory (úloha 2.1. resp. 4.3.8).
V úlohe 2.2 (resp. 4.3.5) sme zisťovali, či dané trojice sú lineárne nezávislé. V jednom prípade sme mali v $\mathbb R^3$ viac než tri vektory - takže tam sme bez počítania vedeli, že sú závislé. Prepočítali sme dva príklady, kde boli tri vektory. Jeden taký, kde zadané vektory boli nezávislé; a druhý taký, kde boli závislý. Jeden z nich bol nad poľom $\mathbb R$, druhý nad poľom $\mathbb Z_5$.
Potom sme sa pozreli na úlohu 2.3 (resp. 4.3.6), kde sme sa pozreli na to, či dané funkcie sú lineárne nezávislé. Stihli sme časti a), e) a c).
Popritom sme pripomenuli aj identity pre kosínus a sínus dvojnásobného uhla.

7. cvičenie: (15.11.)
Robili sme príklady z 06baza.pdf a 07rtm.pdf. (Tie isté úlohy sa dajú nájsť aj v texte na stránke.)
Dajú sa riešiť rôznymi spôsobmi, my sme sa sústredili na postupy využívajúce elementárne riadkové operácie a redukovaný trojuholníkový tvar.

Úloha 2 z 06baza - overiť pre zadané vektory, či tvoria bázu alebo nie. (Urobili sme jeden príklad, kde odpoveď bola áno; a jeden príklad, kde bola odpoveď nie.)
Pri tom sme pripomenuli, že ak máme $n$ vektorov v priestore dimenzie $n$, tak stačí overiť jednu podmienku z definície bázy; druhá bude splnená automaticky.

Úloha 5 z 07rtm - pre zadané vektory zistiť, či platí $\vec\beta\in[\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3]]$.
Používali sme presne postup, ktorý je v príklade 5.2.13 a lema 5.2.14.
Povedali sme si ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=531 a poznámka 5.2.18)

Úloha 6 z 06baza - doplniť zadné vektory na bázu. (Robili sme z tejto úlohy príklady v $(\mathbb Z_5)^4$ a v $\mathbb \R^3. Príkladu s polynómami som sa zatiaľ nevenoval; tam si treba najprv rozmyslieť akú dimenziu má takýto priestor polynómov.

7. cvičenie: (15.11.)
Pripomeniem, že na stránke prednášajúceho pribudla du03, ktorá sa odovzdáva na budúcom cviku.
Riadkové ekvivalencia a RTM
Robili sme príklady z 07rtm.pdf. (Tie isté úlohy sa dajú nájsť aj v texte na stránke.)
Úloha 1 z 07rtm - urobili sme tretiu maticu. Úmyselne som vybral takú, kde bolo vidieť, že výsledok vyšiel inak, ak sme počítali nad $\mathbb R$ a ak sme počítali nad $\mathbb Z_5$.
Úloha 6 z 07rtm - pre zadané vektory zistiť, či $[\vec\beta_1,\vec\beta_2]\subseteq[\vec\gamma_1,\vec\gamma_2,\vec\gamma_3]$. Na tomto príklade sme si ilustrovali to, že niekedy sa nám môže ľahšie počítať, ak si zvolíme iné stĺpce s jednotkami než v redukovanom trojuholníkovom tvare. (V závislosti od typu úlohy si ale treba rozmyslieť, či takéto niečo ovplyvní výsledok alebo nie.)
Urobili sme jeden príklad na hodnosť s parametrom. - konkrétne jednu maticu z úlohy 8.
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Na konci cvičenia sme sa pozreli na niektoré úlohy z písomky. Stihli sme druhú úlohu z oboch skupín a prvú úlohu z jednej skupiny.
Riešenia úloh z písomky sa postupne objavia na fóre (niektoré tam už aj sú).
Ak by boli nejaké ďalšie otázky alebo reklamácie k písomke, dajú sa vyriešiť v rámci konzultácií.