Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1949
viewtopic.php?t=1770
viewtopic.php?t=1645
viewtopic.php?t=1496 a viewtopic.php?t=1524
viewtopic.php?t=1402
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593
Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2024/25
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2024/25
1. týždeň (18.2.)
Na stránke k cvičeniam je prvá úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS01.pdf
Pripomeniem, že budúci utorok sa budú dať prezentovať PÚ. (V stredu namiesto cvika bude prednáška.)
Keďže pred cvikom bola iba jedna prednáška (dnešná), spomenuli sme niektoré veci, ktoré na prednáške ešte len budú.
Konkrétne sme spomenuli:
* $\det(A)=\det(A^T)$
* Matica je regulárna p.v.k. $\det(A)\ne0$.
* Ako menia hodnotu determinantu elementárne riadkové (stĺpcové) operácie.
* Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin prvkov na diagonále.
* Geometrický význam (plocha, objem; resp. koľkokrát zväčšuje zodpovedajúce lineárne zobrazenie plochu či objem).
* Determinant súčinu matíc je súčin determinantov: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Determinanty
Počítali sme najmä príklady z 11deter.pdf. (Na stránke k cvičeniam je aj súbor obsahujúci prehľad základných faktov o determinantoch.)
Pripomenuli sme definíciu determinantu (t.j. jeho vyjadrenie ako súčet cez permutácie) a tiež sme si ukázali ako z tejto definície dostaneme vzorec pre determinant matice $2\times2$ a pre determinant matice $3\times3$, t.j. Sarrusovo pravidlo.
Pre matice väčších rozmerov sa dajú použiť elementárne riadkové (stĺpcové) operácie alebo Laplaceov rozvoj; prípadne kombináciou týchto dvoch metód.
Vyskúšali sme si výpočet jedného determinantu z úlohy 1 v 11deter.pdf pomocou ERO. (Na budúcom cvičení určite vyskúšame niečo, kde sa bude dať použiť Laplaceov rozvoj.)
Úloha 6 z 11deter.pdf: Vypočítali sme determinant matice obsahujúcej parameter. Povedali sme si, že na základe toho vieme pre niektoré hodnoty parametra povedať, že matica má plnú hodnosť.)
použitie determinantu v súvislosti s nájdením hodnosti matice v závislosti od parametra. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Úloha 11 z 11deter.pdf: Pomocou súčinu vhodných matíc sme odvodili Fibonacciho identitu $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$.
Matice takéhoto špeciálneho tvaru nejako súvisia aj s komplexnými číslami: viewtopic.php?t=571
Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ má determinant rovný 1 - pričom sme si rozmysleli aj to, čo znamená tento fakt geometricky. (Plocha štvorca určeného danými vektormi. Rotácia nemení plochu.)
Úloha 4* z 11deter.pdf, t.j. iné odvodenie Cramerovho pravidla. Dá sa nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1497
Podobný princíp (že pri výpočtoch/dôkazoch týkajúcich sa determinantov môže byť užitočné, ak sa matica dá nejako prepísať ako súčin jednoduchších matíc) môže byť užitočný aj pri iných príkladoch či dôkazoch. Spomeniem determinant blokovej matice, ktorý časom budeme aj na nejaké veci používať, viac o ňom je tu: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
(Keď to budeme v druhej časti semestra potrebovať, tak to znovu pripomeniem - a snáď niekedy na cviku si nájdeme čas tento fakt aj dokázať.)
Na stránke k cvičeniam je prvá úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS01.pdf
Pripomeniem, že budúci utorok sa budú dať prezentovať PÚ. (V stredu namiesto cvika bude prednáška.)
Keďže pred cvikom bola iba jedna prednáška (dnešná), spomenuli sme niektoré veci, ktoré na prednáške ešte len budú.
Konkrétne sme spomenuli:
* $\det(A)=\det(A^T)$
* Matica je regulárna p.v.k. $\det(A)\ne0$.
* Ako menia hodnotu determinantu elementárne riadkové (stĺpcové) operácie.
* Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin prvkov na diagonále.
* Geometrický význam (plocha, objem; resp. koľkokrát zväčšuje zodpovedajúce lineárne zobrazenie plochu či objem).
* Determinant súčinu matíc je súčin determinantov: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Determinanty
Počítali sme najmä príklady z 11deter.pdf. (Na stránke k cvičeniam je aj súbor obsahujúci prehľad základných faktov o determinantoch.)
Pripomenuli sme definíciu determinantu (t.j. jeho vyjadrenie ako súčet cez permutácie) a tiež sme si ukázali ako z tejto definície dostaneme vzorec pre determinant matice $2\times2$ a pre determinant matice $3\times3$, t.j. Sarrusovo pravidlo.
Pre matice väčších rozmerov sa dajú použiť elementárne riadkové (stĺpcové) operácie alebo Laplaceov rozvoj; prípadne kombináciou týchto dvoch metód.
Vyskúšali sme si výpočet jedného determinantu z úlohy 1 v 11deter.pdf pomocou ERO. (Na budúcom cvičení určite vyskúšame niečo, kde sa bude dať použiť Laplaceov rozvoj.)
Úloha 6 z 11deter.pdf: Vypočítali sme determinant matice obsahujúcej parameter. Povedali sme si, že na základe toho vieme pre niektoré hodnoty parametra povedať, že matica má plnú hodnosť.)
použitie determinantu v súvislosti s nájdením hodnosti matice v závislosti od parametra. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Úloha 11 z 11deter.pdf: Pomocou súčinu vhodných matíc sme odvodili Fibonacciho identitu $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$.
Matice takéhoto špeciálneho tvaru nejako súvisia aj s komplexnými číslami: viewtopic.php?t=571
Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ má determinant rovný 1 - pričom sme si rozmysleli aj to, čo znamená tento fakt geometricky. (Plocha štvorca určeného danými vektormi. Rotácia nemení plochu.)
Úloha 4* z 11deter.pdf, t.j. iné odvodenie Cramerovho pravidla. Dá sa nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1497
Podobný princíp (že pri výpočtoch/dôkazoch týkajúcich sa determinantov môže byť užitočné, ak sa matica dá nejako prepísať ako súčin jednoduchších matíc) môže byť užitočný aj pri iných príkladoch či dôkazoch. Spomeniem determinant blokovej matice, ktorý časom budeme aj na nejaké veci používať, viac o ňom je tu: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
(Keď to budeme v druhej časti semestra potrebovať, tak to znovu pripomeniem - a snáď niekedy na cviku si nájdeme čas tento fakt aj dokázať.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2024/25
2. týždeň (25.2.)
Na stránke k cvičeniam je druhá úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS02.pdf
Dnes sme riešili hlavne prednáškové úlohy, stihli sme úlohy 1 až 7 z PU1.
K prednáškovej úlohe o ploche rovnobežníka pridám aj takúto linku: Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram?.
Niečo o geometrickom význame determinantu je aj tu: viewtopic.php?t=555
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown; spomenul som ho aj v tomto topicu) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali alebo budeme preberať, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Pri determinante Vandermondovej matice sme sa pozreli aj na to, ako to funguje pre väčšie rozmery než $3\times3$.)
Medzi rečou som spomenul, že takéto niečo sa dá použiť napríklad na zdôvodnenie, že nenulový polynóm stupňa n má najviac n koreňov: viewtopic.php?t=1349 (Ale toto vieme určite zdôvodniť aj inými spôsobmi.)
PU7 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne) - je vyriešená aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf
Na konci sme sa pozreli na poslednú úlohu z 11deter.pdf; t.j. na determinant blokovej matice.
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Niečo k tejto úlohe je aj tu: viewtopic.php?t=918
Na stránke k cvičeniam je druhá úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS02.pdf
Dnes sme riešili hlavne prednáškové úlohy, stihli sme úlohy 1 až 7 z PU1.
K prednáškovej úlohe o ploche rovnobežníka pridám aj takúto linku: Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram?.
Niečo o geometrickom význame determinantu je aj tu: viewtopic.php?t=555
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown; spomenul som ho aj v tomto topicu) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali alebo budeme preberať, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Pri determinante Vandermondovej matice sme sa pozreli aj na to, ako to funguje pre väčšie rozmery než $3\times3$.)
Medzi rečou som spomenul, že takéto niečo sa dá použiť napríklad na zdôvodnenie, že nenulový polynóm stupňa n má najviac n koreňov: viewtopic.php?t=1349 (Ale toto vieme určite zdôvodniť aj inými spôsobmi.)
PU7 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne) - je vyriešená aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf
Na konci sme sa pozreli na poslednú úlohu z 11deter.pdf; t.j. na determinant blokovej matice.
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Niečo k tejto úlohe je aj tu: viewtopic.php?t=918
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2024/25
3. týždeň (4.3.)
Na stránke k cvičeniam je nová úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS03.pdf
Dnes sme dokončili PU1.
* Súčin horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006 Trochu to súvisí aj s otázkou, ako by vyzerala inverzná matica k hornej trojuholníkovej: viewtopic.php?t=1007 viewtopic.php?t=1008 viewtopic.php?t=1009
* Determinant je multilineárna funkcia - tento topic súvisí s bonusovou úlohou: viewtopic.php?t=1643
Okrem toho sme spravili taký typ úlohy ako je úloha 8 v 11deter.pdf. (V zadaní na cviku boli násobky 7-čky a nie násobky 13-ky; ale bol to ten istý princíp.)
Nestihli sme sa dostať k príkladom na skalárne súčiny a príbuzné témy - zadania nejakých takýchto úloh sa dajú nájsť na stránke k cvičeniam. (A máte takéto úlohy aj v PÚ.)
Tu sa dá nájsť viacero riešených príkladov týkajúcich sa kapitoly o skalárnych súčinoch: viewtopic.php?t=993
Na stránke k cvičeniam je nová úloha na odovzdávanie: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohyLS03.pdf
Dnes sme dokončili PU1.
* Súčin horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006 Trochu to súvisí aj s otázkou, ako by vyzerala inverzná matica k hornej trojuholníkovej: viewtopic.php?t=1007 viewtopic.php?t=1008 viewtopic.php?t=1009
* Determinant je multilineárna funkcia - tento topic súvisí s bonusovou úlohou: viewtopic.php?t=1643
Okrem toho sme spravili taký typ úlohy ako je úloha 8 v 11deter.pdf. (V zadaní na cviku boli násobky 7-čky a nie násobky 13-ky; ale bol to ten istý princíp.)
Nestihli sme sa dostať k príkladom na skalárne súčiny a príbuzné témy - zadania nejakých takýchto úloh sa dajú nájsť na stránke k cvičeniam. (A máte takéto úlohy aj v PÚ.)
Tu sa dá nájsť viacero riešených príkladov týkajúcich sa kapitoly o skalárnych súčinoch: viewtopic.php?t=993