msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1980
viewtopic.php?t=1879
viewtopic.php?t=1709
viewtopic.php?t=1565
viewtopic.php?t=1459
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

1. týždeň: (24.9.)
Riešili sme príklady z 00opak.pdf.

Úpravy výrazov.
Príklady 1.1a, 1.1c, 1.2c, 1.2d.
Pripomenuli sme si, že pre reálne čísla platí $\sqrt{x^2}=|x|$. (T.j. nezabudnúť na absolútnu hodnotu.)
Pozreli sme sa na to, ako sa dajú zjednodušiť výrazy $\frac1{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ a $\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$.
Keď už sme takéto číslo mali na tabuli, pozreli sme sa na nejaké možnosti ako zdôvodniť, že $\sqrt2+\sqrt3$ je iracionálne. (Pripomenuli sme, že zo strednej školy viete, že napríklad $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\notin\mathbb Q$; ale neopakovali sme, ako ste to zdôvodnili.)
Pridám aj takúto linku: Prove that $\sqrt 2 + \sqrt 3$ is irrational.
Pri úprave výrazu $\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$ sme si pripomenuli, čo vieme o vzťahu medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice. T.j. Vietove vzťahy pre kvadratické polynómy.
Pozreli sme sa v úlohe 1.3 na nejaké výrazy obsahujúce $x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}2$. (Spomenuli sme aj to, že jedno z týchto čísel je zlatý rez.)

Matematická indukcia
Povedali sme si stručne, čo znamená dôkaz matematickou indukciou. Pri indukcii sme prepočítali príklady 3.5 a 3.6.
Dokázali sme indukciou nerovnosť $4^n>3^n+2^n$ pre všetky prirodzené čísla $n\ge 2$.
Pri dôkaze nerovnosti $\sum\limits_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2-\frac1n$ sme sa pozreli aj na súčet $\sum\limits_{k=2}^n \frac1{k(k-1)}$, ktorý je príkladom teleskopickej sumy. (Aj keď už som nestihol poriadne povedať, ako tieto dva príklady spolu súvisia - ale môžete sa nad tým skúsiť zamyslieť samostatne.)
Okrem iného sme si rozmysleli aj to, že ak sme dokazovanú nerovnosť upravili na inú nerovnosť (ktorá už evidentne platí), tak si bolo treba rozmyslieť aj to, či naše úpravy boli ekvivalentné: viewtopic.php?t=1164

2. týždeň: (1.10.)
Riešili sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=\sin x$.
Videli sme, že v tomto prípade $g\circ f\ne f\circ g$. (Skladanie zobrazení nie je komutatívne.)
Pri tejto príležitostí sme skúsili načrtnúť grafy funkcií $\sin x^2$ a $\sin^2x$. Pripomenuli sme si súčasne vzorce pre $\cos 2x$ a $\sin2x$ a rozmysleli sme si, že $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Prešli sme úlohy 3.1 a 3.2 t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
Pre jedno z týchto tvrdení sme našli aj kontrapríklad ukazujúci, že opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí.
Potom sme sa pozreli na "krátenie" surjekciou resp. injekciou, to sú úlohy 3.6 a 3.7: viewtopic.php?t=1360
V súvislosti s jednou otázkou sme sa dostali aj k tomu, ako vyzerajú zobrazenia $\emptyset\to\emptyset$, $X\to\emptyset$, $\emptyset\to Y$. V súvislosti s tým spomeniem rovnosť $0^0=1$. Nejaké odkazy k tomuto: viewtopic.php?t=343
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Pozreli sme sa na úlohu 1.4: Pre konečnú množinu $A$ a pre zobrazenie $f\colon A\to A$ platí:
a) Ak $f$ je injekcia, tak $f$ je bijekcia.
b) Ak $f$ je surjekcia, tak $f$ je bijekcia.
Rozmysleli sme si aj to, že pre nekonečné množiny takéto tvrdenie neplatí.

3. týždeň: (8.10.)
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Pre operáciu $x*y=\frac{x+y}2$ na množine $\mathbb R$ sme si rozmysleli, že nie je asociatívna.
Úloha 1.2.: Ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy.
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495 (Na cviku som iba spomenul, že v nejakom zmysle sú tieto dve grupy "v podstate rovnaké" ako $(\mathbb R,+)$ resp. $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$; čo sa myslí pod "v podstate rovnaké" bude jasnejšie, keď sa naučíme niečo o pojme izomorfizmus grúp.)
Pozreli sme sa na úlohu 1.5*, kde bolo treba doplniť tabuľku asociatívnej operácie. (Stihli sme ju takmer celú - a aj som prezradil, ako vyjdú ostatné prvky. Nepovinne na zamyslenie zostalo to, že ako by ste zdôvodnili, že je to skutočne tabuľka asociatívnej operácie.)

K úlohe 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine: viewtopic.php?t=727
(Toto bola jedna z prednáškových úloh na povinnom cviku.)

4. týždeň: (15.10.)
Stále sme sa venovali úlohám z 02binop.pdf.
Vrátili sme sa k úlohe 1.5* - rozmysleli sme si, že to je vlastne tabuľka násobenia v $\mathbb Z_3$, a toto nám dalo nejaký argument, prečo platí asociatívnosť.
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5.
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to z definície - t.j. overili sme injektívnosť a surjektívnosť. Ako inú možnosť som spomenul overenie, že $f_{a^{-1}}$ je inverzné zobrazenie k $f_a$.) Na tú istú úlohu sa dá pozerať aj tak, že sa na jeden riadok v tabuľke grupovej operácie pozerám ako na zobrazenie. Toto je jedna z úloh, ktoré sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1469 a viewtopic.php?t=517
Úloha 2.20: Doplniť tabuľku binárnej operácie tak, aby sme dostali grupu. Pri overovaní, či to je grupa, sme sa opäť pozerali na situáciu, keď dve binárne operácie resp. tabuľky sú "v podstate rovnaké" - zanedlho bude na prednáške pojem izomorfizmu, ktorý takéto niečo formalizuje. Nejaký pokec k tomu je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=495
Prácu s tabuľkami sme využili aj na to, že sme si povedali ako na tabuľke vidíme: komutatívnosť, zákony o krátení, neutrálny prvok, inverzný prvok, bijektívnosť zobrazenia $f_a$.
Úloha 2.23: Ak konečná komutatívna grupa má $n$ prvkov, tak platí $a^n=e$. (Toto tvrdenie platí aj bez predpokladu komutatívnosti - ale pre komutatívne grupy vieme urobiť o čosi jednoduchší dôkaz.) Niečo viac k tejto úlohe je tu: viewtopic.php?t=2005
Úloha 2.12: V konečnej grupe s párnym počtom prvkov existuje prvok rôzny od neutrálneho taký, že $a^2=e$.
Úloha 2.13: Ak $G$ je konečná komutatívna grupa, tak pre súčin všetkých jej prvkov platí $(a_1a_2\cdots a_n)^2=e$. Niečo k tejto úlohe je aj na fóre: viewtopic.php?t=1902

K úlohe 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine: viewtopic.php?t=727
(Toto bola jedna z prednáškových úloh na povinnom cviku.)

5. týždeň: (22.10.)
Podgrupy.
V súvislosťami s podgrupami sme sa venovali niektorým úlohám z 03podgrp.pdf.
Ukázali sme, že ak $H$ je konečná podmnožina $G$, pričom $H\ne\emptyset$ a $H$ je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu, tak už $H$ musí byť podgrupa. (Inak povedané, pre konečnú množinu $H$ môžeme v kritériu podgrupy vynechať uzavretosť na inverzný prvok. Je to úloha 1.4.6(4) v LAG1.) Videli sme, že bez predpokladu o konečnosti takéto tvrdenie neplatí.
Úloha 1.6.: $H=\{\ln a; a\in\mathbb Q, a>0\}$ je podgrupou grupy $(\mathbb R,+)$. Túto úlohu sme vyriešili pomocou definície a potom sme si rozmysleli aj to, že by sa dal využiť izomorfizmus $f\colon(\mathbb R^+,\cdot)\to(\mathbb R,+)$ určený predpisom $f(x)=\ln x$.
Úloha 1.11: Ukázali sme, že zjednotenie dvoch podgrúp je podgrupa p.v.k. jedna z nich je podmnožinou tej druhej: viewtopic.php?t=1169

Relácie ekvivalencie.
Pozreli sme sa aj na niektoré príklady týkajúce sa relácií ekvivalencie z 04faktor.pdf.
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na časti a, b, c, d.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb Z\times\mathbb Z$.)

Faktorové grupy.
Zopakovali sme nejaké veci týkajúce sa faktorových grúp.
Okrem iného sme sa pozreli na to, že pre každé $x\in G$ má jeho trieda ekvivalencie tvar $[x]=\{x+h; h\in H\}$. Teda napríklad trieda neutrálneho prvku je rovná podgrupe $H$.

Pozreli sme sa na viaceré príklady z: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.
* Izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Ak niektorí z vás neviete toho veľa o komplexných číslach, môžete si rozmyslieť light verziu tohto príkladu: $\mathbb R/\{\pm1\}\cong\mathbb R^+$.)

7. týždeň: (5.11.)
Dnes nebolo štandardné cvičenie, ale venovali sme sa príkladom, o ktorých ste vy povedali, že sa k ním treba vrátiť pred písomkou. (A po cviku ešte niekoľko ľudí zostalo na konzultáciách.)

• PU4/5: Nájsť $f_m^{-1}(l\mathbb Z)$. (Tu sme si pripomenuli, že vzor podgrupy je podgrupa. A aj to, že poznáme popis všetkých podgrúp v $(\mathbb Z,+)$.
• PU5/5: Našli sme všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$. Zdôvodnili sme, že tieto grupy nie sú izomorfné.
• PU5/6: Ukázať existenciu bijekcie medzi ľubovoľnými dvoma triedami $[x]$ a $[y]$ rozkladu $G$ podľa $H$. (Najprv sme ukázali bijekciu medzi triedou $[x]$ a podgrupou $H$, t.j. triedov nuly. Z tohto vyplýva aj fakt, že v konečnej grupe musí počet prvkov ľubovoľnej podgrupy byť deliteľom počtu prvkov celej grupy.!
• PU5/4 (druhá časť): $\mathbb Z_6$ a $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_3$ sú izomorfné.
• Úloha 2.2 03podgrp.pdf: Grupy $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ sú izomorfné.
• Úloha 2.12a z 03podgrp.pdf: $\mathbb Z_8$ a $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4$ nie sú izomorfné.
• Urobili sme ešte raz príklad faktorovej grupy $(\mathbb R\times\mathbb R, podľa priamky, konkrétne 2.1a z 04faktor.pdf.

Pripomeniem, že nejaké úlohy na faktorové grupy sú vyriešené tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
Keďže sme robili nejaké úlohy pomocného typu, tak napíšem, že tu na fóre nájdete aj úlohu na nájdenie všetkých podgrúp v $\mathbb Z_{12}$: viewtopic.php?t=770
A aj úlohu na nájdenie všetkých homomorfizmov $\mathbb Z_{10}\to\mathbb Z_4$.
viewtopic.php?t=769

Na niektorom z budúcich cvík sa budeme venovať aj Euklidovmu algoritmu - ale ak sa niekto chce naň pozrieť už teraz, je k nemu niečo aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Rozdal som aj nejaké úlohy týkajúce sa polí: https://msleziak.com/vyuka/2024/lag/05okruhy.pdf
Uvidíme, či sa k niečomu z nich dostaneme - budúci týždeň vlastne v utorok bude písomka a odpadne aj stredajšie cviko.

9. týždeň: (19.11.)
Euklidov algoritmus
Vypočítali sme jeden príklad na rozšírený Euklidov algoritmus - konkrétne úplne posledný príklad z 05okruhy.pdf, kde sme hľadali celé čísla také, že $80x+62y=2$.
Ten istý príklad sa dá nájsť aj tu: How to use the Extended Euclidean Algorithm manually?
Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou tohto algoritmu dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Niečo o Euklidovom algoritme sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298

PU7/1 O izomorfizme medzi $(\mathbb Z_7^*,\cdot)$ a $(\mathbb Z_6,+)$.
PU7/2 Pole $\mathbb Q(\sqrt 2)$
PU7/6 Priamky určené lineárnymi kombináciami vektorov
PU7/7a,b Či dané vektory generujú $\mathbb R^2$.

PU7/2 sa nachádza aj v 05okruhy.pdf aj spolu s dvoma úlohami, ktoré na ňu nadväzujú. Napíšem stručne niečo aj k nim.
Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti máme zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne tu vyjde, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
V prvej úlohe sme videli aj to, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne by sa dalo ukázať, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu môže byť užitočné všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by nám pomohlo aj pri overovaní, že $F_3$ je pole. (Túto úlohu sme nedoriešili iba naznačili ako by sa to robilo - uzavreli sme ju s tým, že ďalej by to šlo už dosť podobne ako v prípade poľa $F_1$.)

Na fóre sa dá nájsť niečo k prvej z týchto troch úloh:
viewtopic.php?t=84
viewtopic.php?t=505
viewtopic.php?t=521