V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
1. cvičenie (17.2):
Príklady, ktoré sme riešili, boli zväčša z 00grupy.pdf a 01podgrupy.pdf. (Tieto úlohy sa dajú nájsť aj medzi cvičeniami v texte na stránke.)
00grupy.pdf: V druhej úlohe sme vlastne videli ako sa dá dostať priamy súčin dvoch grúp. Potom sme sa ešte vrátili k prvej úlohe a videli sme, že to je špeciálny prípad.
Pozreli sme sa úlohu 7 - t.j. dopĺňanie tabuľky grupy "sudoku" štýlom. Pritom sme pripomenuli veci, ktoré sme tam používali - zákony o krátení a riešiteľnosť rovníc v grupe.
01podgrupy.pdf: Pozerli sme sa na niektoré časti z úlohy 3.
Príklady, ktoré sme riešili, boli zväčša z 00grupy.pdf a 01podgrupy.pdf. (Tieto úlohy sa dajú nájsť aj medzi cvičeniami v texte na stránke.)
00grupy.pdf: V druhej úlohe sme vlastne videli ako sa dá dostať priamy súčin dvoch grúp. Potom sme sa ešte vrátili k prvej úlohe a videli sme, že to je špeciálny prípad.
Pozreli sme sa úlohu 7 - t.j. dopĺňanie tabuľky grupy "sudoku" štýlom. Pritom sme pripomenuli veci, ktoré sme tam používali - zákony o krátení a riešiteľnosť rovníc v grupe.
01podgrupy.pdf: Pozerli sme sa na niektoré časti z úlohy 3.
- Časť b by sa dala zovšeobecniť tak, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$, $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa $G_1\times G_2$.
- Videli sme, že matice tvaru $\begin{pmatrix}a & b\\-b&a\end{pmatrix}$ nejako súvisia s komplexnými číslami - sľúbil som, že niečo takéto ešte spomeniem a dá sa niečo o tom prečítať aj tu: viewtopic.php?t=571
- Výpočet inverznej matice k matici $2\times2$ (to je poznámka 6.5.4 v texte na stránke; pre takéto matice je spomenutý aj v topicu o komplexných číslach a maticiach, na ktorý som dal linku vyššie.).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
2. cvičenie (24.2):
Príklady, ktoré sme riešili, boli z 02homizom.pdf
Viacero príkladov na overenie, či dané zobrazenie je homomorfizmus - konkrétne a, b, d, f z prvej úlohy.
Prešli sme viacero úloh, kde bolo treba rozhodnúť, či nejaké dve grupy sú izomorfné resp. či jedna z nich je homomorfným obrazom druhej.
Konkrétne to boli tieto:$\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
$
Konkrétne nám pomohli napríklad komutatívnosť, kardinalita, rády prvkov, riešiteľnosť takejto rovnice: $(\forall b\in G)(\exists a\in G) a*a=b$ (t.j. niečo ako "grupová odmocnina").
Na konci sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 7, t.j. na otázku, kedy je $x\mapsto x^{-1}$ homomorfizmus resp. izomorfizmus. Dostali sme sa takto k opačnej grupe: viewtopic.php?t=1727 (T.j. "rovnaká" operácia len s "vymeneným poradím".)
Ukázali sme, že homomorfizmus je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{e\}$.
Pri úlohe 2 sme si uvedomili, že izomorfizmus sa dá použiť na dôkaz, že niečo je grupa. A znovu sme pripomenuli maticové vyjadrenie komplexných čísel.
Príklady, ktoré sme riešili, boli z 02homizom.pdf
Viacero príkladov na overenie, či dané zobrazenie je homomorfizmus - konkrétne a, b, d, f z prvej úlohy.
Prešli sme viacero úloh, kde bolo treba rozhodnúť, či nejaké dve grupy sú izomorfné resp. či jedna z nich je homomorfným obrazom druhej.
Konkrétne to boli tieto:$\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
$
- $G=(\Z_6,\oplus)$, $H=(S_3,\circ)$
- $G=(\R\sm\{0\},\cdot)\times(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
- $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$
- $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
- $G=(\Q,+)$, $H=(\Q^+,\cdot)$
- $G=(\Q,+)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$
Konkrétne nám pomohli napríklad komutatívnosť, kardinalita, rády prvkov, riešiteľnosť takejto rovnice: $(\forall b\in G)(\exists a\in G) a*a=b$ (t.j. niečo ako "grupová odmocnina").
Na konci sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 7, t.j. na otázku, kedy je $x\mapsto x^{-1}$ homomorfizmus resp. izomorfizmus. Dostali sme sa takto k opačnej grupe: viewtopic.php?t=1727 (T.j. "rovnaká" operácia len s "vymeneným poradím".)
Ukázali sme, že homomorfizmus je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{e\}$.
Pri úlohe 2 sme si uvedomili, že izomorfizmus sa dá použiť na dôkaz, že niečo je grupa. A znovu sme pripomenuli maticové vyjadrenie komplexných čísel.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
3. cvičenie (3.3):
Na začiatku cvičenia som ešte dokončil vetu o rozklade na disjunktné cykly.
Rátali sme príklady z 03permrad.pdf.
Homomorfizmy
Úloha 1 o $f(a^n)=f(a)^n$ a vzťahu medzi rádmi $a$ a $f(a)$.
Úloha 3: Tieto dvojice prvkov majú rovnaký rád: $ab$, $ba$; $abc$, $bca$; $b$, $aba^{-1}$.
Permutácie.
Úloha 7: Pozreli sme sa na to ako nájsť rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie, paritu permutácie. (Niektoré z vecí, ktoré sme používali, dokážeme až na najbližšej prednáške.)
Na začiatku cvičenia som ešte dokončil vetu o rozklade na disjunktné cykly.
Rátali sme príklady z 03permrad.pdf.
Homomorfizmy
Úloha 1 o $f(a^n)=f(a)^n$ a vzťahu medzi rádmi $a$ a $f(a)$.
Úloha 3: Tieto dvojice prvkov majú rovnaký rád: $ab$, $ba$; $abc$, $bca$; $b$, $aba^{-1}$.
Permutácie.
Úloha 7: Pozreli sme sa na to ako nájsť rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie, paritu permutácie. (Niektoré z vecí, ktoré sme používali, dokážeme až na najbližšej prednáške.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
4. cvičenie (10.3):
Rátali sme príklady z 04rozklad.pdf.
Relácie ekvivalencie a rozklady.
Ešte na prednáške sme ukázali, že všeobecne pre ľubovoľnú grupu $G$ a podgrupu $H$ nám podmienka $ab^{-1}\in H$ dá reláciu ekvivalencie.
Zopakovali sme definíciu relácie ekvivalencie a tiež to, ako súvisia relácie ekvivalencie s rozkladmi.
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $|x-y|\le1$. (Táto relácia nie je relácia ekvivalencie, ostatné už sú.)
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $x^2=y^2$.
* Relácia na $\mathbb Z$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $3\mid x+2y$.
Videli sme nejaký vzťah medzi reláciami ekvivalenciami a surjektívnymi zobrazeniami. (Pre surjekciu $f$ máme reláciu danú ako $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$. Pre reláciu ekvivalencie $\sim$ máme surjekciu $p\colon A\to A\sim$, $p\colon a\mapsto [a]$.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Pozreli sme sa na rozklady z úlohy 6. Videli sme aj dva nekomutatívne príklady, v jednom z nich ľavý a pravý rozklad vyšiel inak. (V terminológii, ktorú zavedieme na budúcej prednáške teda máme príklad podgrupy, ktorá nie je normálna.)
Súčin množín. Pre súčin definovaný ako $$AB=\{ab; a\in A,b\in B\}$$ sme dokázali niektoré vlastnosti. Konkrétne sme overili asociatívnosť $A(BC)=(AB)C$ a ukázali sme, že pre podgrupu platí $H^2=H\cdot H=H$. T.j. časti a) a e) z úlohy 7.
Rátali sme príklady z 04rozklad.pdf.
Relácie ekvivalencie a rozklady.
Ešte na prednáške sme ukázali, že všeobecne pre ľubovoľnú grupu $G$ a podgrupu $H$ nám podmienka $ab^{-1}\in H$ dá reláciu ekvivalencie.
Zopakovali sme definíciu relácie ekvivalencie a tiež to, ako súvisia relácie ekvivalencie s rozkladmi.
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $|x-y|\le1$. (Táto relácia nie je relácia ekvivalencie, ostatné už sú.)
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $x^2=y^2$.
* Relácia na $\mathbb Z$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $3\mid x+2y$.
Videli sme nejaký vzťah medzi reláciami ekvivalenciami a surjektívnymi zobrazeniami. (Pre surjekciu $f$ máme reláciu danú ako $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$. Pre reláciu ekvivalencie $\sim$ máme surjekciu $p\colon A\to A\sim$, $p\colon a\mapsto [a]$.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Pozreli sme sa na rozklady z úlohy 6. Videli sme aj dva nekomutatívne príklady, v jednom z nich ľavý a pravý rozklad vyšiel inak. (V terminológii, ktorú zavedieme na budúcej prednáške teda máme príklad podgrupy, ktorá nie je normálna.)
Súčin množín. Pre súčin definovaný ako $$AB=\{ab; a\in A,b\in B\}$$ sme dokázali niektoré vlastnosti. Konkrétne sme overili asociatívnosť $A(BC)=(AB)C$ a ukázali sme, že pre podgrupu platí $H^2=H\cdot H=H$. T.j. časti a) a e) z úlohy 7.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
5. cvičenie (18.3):$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Ešte sme sa vrátili k posledným príkladom z 04rozklad.pdf.
Videli sme, že: $\inv{(AB)}=\inv B\inv A$ a že pre podgrupy platí $\inv H=H$.
Videli sme, že násobenie podmnožín zachováva inklúzie.
Potom sme rátali príklady z 05normal.pdf.
Úlohy 2, 3 a 4 z 05normal.pdf: Každá $p^k$-prvková grupa obsahuje $p$-prvkovú podgrupu. Každá vlastná podgrupa $p^2$-prvkovej grupy je cyklická. (V oboch prípadoch je $p$ prvočíslo.)
Normálne podgrupy.
Úloha 8. Ak $[G:H]=2$, tak $H$ je normálna podgrupa. Navyše, pre všetky $x\in G$ platí $x^2\in H$. (Druhá časť bude o čosi jednoduchšie, keď už budeme poznať pojem faktorovej grupy Ale urobili sme ju aj s vedomosťami, ktoré máme doteraz.)
Pozreli sme sa na úlohy 9 a 10 z 05normal.pdf; obe sa nejakým spôsobom týkali prieniku normálnych podgrúp.
Aspoň sčasti sme stihli úlohy 13 a 14 - matice tvaru $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ v jednom pr9pade tvoria norm8lnu podgrupu, v druhom nie.
Ešte sme sa vrátili k posledným príkladom z 04rozklad.pdf.
Videli sme, že: $\inv{(AB)}=\inv B\inv A$ a že pre podgrupy platí $\inv H=H$.
Videli sme, že násobenie podmnožín zachováva inklúzie.
Potom sme rátali príklady z 05normal.pdf.
Úlohy 2, 3 a 4 z 05normal.pdf: Každá $p^k$-prvková grupa obsahuje $p$-prvkovú podgrupu. Každá vlastná podgrupa $p^2$-prvkovej grupy je cyklická. (V oboch prípadoch je $p$ prvočíslo.)
Normálne podgrupy.
Úloha 8. Ak $[G:H]=2$, tak $H$ je normálna podgrupa. Navyše, pre všetky $x\in G$ platí $x^2\in H$. (Druhá časť bude o čosi jednoduchšie, keď už budeme poznať pojem faktorovej grupy Ale urobili sme ju aj s vedomosťami, ktoré máme doteraz.)
Pozreli sme sa na úlohy 9 a 10 z 05normal.pdf; obe sa nejakým spôsobom týkali prieniku normálnych podgrúp.
Aspoň sčasti sme stihli úlohy 13 a 14 - matice tvaru $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ v jednom pr9pade tvoria norm8lnu podgrupu, v druhom nie.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
6. cvičenie (18.3):$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Riešili sme úlohy z 06faktor.pdf.
Vlastne sme videli viaceré príklady, ktoré sú vyriešené aj tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
Vždy sme sa snažili ukázať, že $G/H\cong G'$; pričom sme sa to niekedy urobili aj priamo z definície faktorovej grupy a vo všetkých prípadoch aj pomocou vety o izomorfizme.
Prešli sme faktorové grupy z úlohy 4.
Pozreli sme sa na to, že $f(x)=f(x')$ platí p.v.k. $x$ a $x'$ patria do tej istej triedy rozkladu grupy $G$ podľa $\operatorname[Ker]f$. A tiež na to, že triedy tohto rozkladu sú presne vzory jednoprvkových množín. (Úloha 10)
Ak $[G:H]=2$, tak pre každé $x$ z grupy $G$ platí $x^2\in H$. (Toto sme už ukázali minule; teraz, keď vieme niečo o faktorových grupách, sme mali k dispozícii jednoduchší argument.)
Ak $H$ je normálna podgrupa a $[G:H]=n$, tak pre každé $x$ platí $x^n\in H$.
Pozreli sme sa na príklad, že bez predpokladu o normálnosti to vo všeobecnosti neplatí. (Konkrétne sme zobrali dvojprvkovú podgrupu v $S_3$.)
Niečo k tejto úlohe sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1296
Riešili sme úlohy z 06faktor.pdf.
Vlastne sme videli viaceré príklady, ktoré sú vyriešené aj tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
Vždy sme sa snažili ukázať, že $G/H\cong G'$; pričom sme sa to niekedy urobili aj priamo z definície faktorovej grupy a vo všetkých prípadoch aj pomocou vety o izomorfizme.
Prešli sme faktorové grupy z úlohy 4.
Pozreli sme sa na to, že $f(x)=f(x')$ platí p.v.k. $x$ a $x'$ patria do tej istej triedy rozkladu grupy $G$ podľa $\operatorname[Ker]f$. A tiež na to, že triedy tohto rozkladu sú presne vzory jednoprvkových množín. (Úloha 10)
Ak $[G:H]=2$, tak pre každé $x$ z grupy $G$ platí $x^2\in H$. (Toto sme už ukázali minule; teraz, keď vieme niečo o faktorových grupách, sme mali k dispozícii jednoduchší argument.)
Ak $H$ je normálna podgrupa a $[G:H]=n$, tak pre každé $x$ platí $x^n\in H$.
Pozreli sme sa na príklad, že bez predpokladu o normálnosti to vo všeobecnosti neplatí. (Konkrétne sme zobrali dvojprvkovú podgrupu v $S_3$.)
Niečo k tejto úlohe sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1296
-
Martin Sleziak
- Posts: 5811
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3
7. cvičenie (31.3):$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Prešli sme úlohy z 06faktor.pdf týkajúce sa grupových kongruencií (okrem poslednej).
A chvíľu sme sa rozprávali o tom, ako môžeme dostať z grupovej kongruencie faktorovú grupu. A tiež o tom, že analogický pojem by sme vedeli definovať aj pre okruhy.
Niečo ku grupovým kongruenciám sú aj v texte na stránke. (Explicitne však napíšem, že táto téma je do istej miery navyše - chcel som, aby ste videli iný pohľad na faktorové grupy. Na skúške nebudem vyžadovať, aby ste poznali grupové kongruencie.)
Z 07okruhy.pdf sme prešli dva príklady.
Videli sme, že zobrazenia zobrazenia $A\mapsto \det(A)$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a+d$ nie sú okruhové homomorfizmy.
Ukázali sme, že okruhy $2\mathbb Z$ a $3\mathbb Z$ nie sú izomorfné: viewtopic.php?t=38
Prešli sme úlohy z 06faktor.pdf týkajúce sa grupových kongruencií (okrem poslednej).
A chvíľu sme sa rozprávali o tom, ako môžeme dostať z grupovej kongruencie faktorovú grupu. A tiež o tom, že analogický pojem by sme vedeli definovať aj pre okruhy.
Niečo ku grupovým kongruenciám sú aj v texte na stránke. (Explicitne však napíšem, že táto téma je do istej miery navyše - chcel som, aby ste videli iný pohľad na faktorové grupy. Na skúške nebudem vyžadovať, aby ste poznali grupové kongruencie.)
Z 07okruhy.pdf sme prešli dva príklady.
Videli sme, že zobrazenia zobrazenia $A\mapsto \det(A)$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a+d$ nie sú okruhové homomorfizmy.
Ukázali sme, že okruhy $2\mathbb Z$ a $3\mathbb Z$ nie sú izomorfné: viewtopic.php?t=38