msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1496 a viewtopic.php?t=1524
viewtopic.php?t=1402
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593

Veci, ktoré budem počas cvičenia písať, vám dám aj do Teams: Teams, Sharepoint.

Nahrávky, ktoré sme robili na výberovom cviku sa dajú nájsť tu: https://web.microsoftstream.com/group/3 ... dac43ce108
V teams som pridal tab s videami do kanálu cvičenia.
Podobne k predmetu 1-MAT-120 (povinné cviko/prednáška) nájdete tu veci, čo boli nahraté: https://web.microsoftstream.com/group/f ... 27776faaff

1. týždeň (19.2.)

Determinanty
Rátali sme príklady na determinanty z 11deter.pdf.
Pripomenuli sme si definíciu determinantu a to, ako sa dá počítať determinant matice rozmerov $2\times2$, $3\times3$.
Na matici $4\times4$ sme si ukázali výpočet determinantu pomocou Laplaceovho rozvoja aj pomocou ERO - a tiež to, že tieto veci môžeme navzájom kombinovať.
Rozprávali sme sa o tom, ako sa mení determinant pri riadkových úpravách - a ukázali sme si, ako to súvisí s geometrickým pohľadom na determinant ako objem.

Príklad 5 - použitie determinantu v súvislosti s nájdením hodnosti matice v závislosti od parametra. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Príklad 17 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne). Tento príklad je vyriešený aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf

Niečo ku geometrickému významu determinantu:
viewtopic.php?t=1621
viewtopic.php?t=555
Pripomeniem YouTube kanál 3Blue1Brown, ktorý som na fóre už kedysi spomínal. Video o determinantoch sa mi zdá veľmi dobré (ako napokon aj iné videá, ktoré tu nájdete) - môže pomôcť s geometrickou predstavou týkajúcou sa pojmu determinantu.

Už po cviku - na konzultáciách - ste sa pýtali na to, čo geometricky hovorí znamienko determinantu. Snažil som sa aspoň trochu ukázať, že keď chceme aby determinant predstavoval plochu/objem a aby to fungovalo "rozumne", tak niekedy potrebujeme aj záporné znamienko.

Video z cvičenia (aj z konzultácií) nájdete cez MS Teams alebo cez linky na začiatku tohoto topicu.
To isté platí o veciach, ktoré som počas prednášky/cvičenia písal.

Pripomeniem, že budúci týždeň v piatok bude len nepovinné cviko/konzultácie. (Budem mať nachystané nejaké príklady alebo ak vy budete mať nejaké otázky, tak sa môžeme pozrieť na tie.)
Mali by ste si budúci týždeň pozrieť tri prednášky - tak ako prioritu berte, aby ste stihli toto.

Takisto aj do budúcnosti platí, že ak budete mať nejaké otázky, tak konzultácie môžu byť hneď po skončení cvika. (Tak ako to bolo teraz.)

2. týždeň (26.2.)

Determinanty. Pozreli sme sa na nejaké veci z 11deter.pdf.

Úloha 4*, t.j. iné odvodenie Cramerovho pravidla. Dá sa nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1497
Spomenul som, že podobný princíp (že pri výpočtoch/dôkazoch týkajúcich sa determinantov môže byť užitočné, ak sa matica dá nejako prepísať ako súčin jednoduchších matíc) môže byť užitočné aj pri iných príkladoch či dôkazoch. A spomenul som determinant blokovej matice, ktorý časom budeme aj na nejaké veci používať, viac o ňom je tu: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
(Keď to budeme v druhej časti semestra potrebovať, tak to znovu pripomeniem.)

Úloha 19 - výpočet determinantu $$D_n=
\begin{vmatrix}
x & a & a & \ldots & a \\
a & x & a & \ldots & a \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a & \ldots & a & x & a \\
a & \ldots & a & a & x
\end{vmatrix}$$
Nejaké determinanty matíc $n\times n$, ktoré sú do istej miery podobné, sú napríklad tu: viewtopic.php?t=853 (Na rozdiel od príkladu, ktorý sme rátali minule, tu nemáme žiadne nuly, takže snažiť sa použiť Laplaceov rozvoj by asi nebolo až také priamočiare.)
Nejaké linky, kde sa dá nájsť tento determinant: https://math.stackexchange.com/q/382799, https://math.stackexchange.com/q/86644 a https://math.stackexchange.com/q/84206.

Úloha 7 - "determinant a deliteľnosť".
Ak viete, že $195$, $403$ a $247$ sú násobky čísla $13$, viete ukázať (bez toho, aby ste ho museli vyrátať), že aj
$\begin{vmatrix}
1 & 9 & 5 \\
4 & 0 & 3 \\
2 & 4 & 7
\end{vmatrix}$ je celočíselný násobok $13$?

3. týždeň
Povinné cviko (1.3.)
Linky na články z Wikipédie spomenuté na pondelkovom cviku:

• General linear group
• Special linear group
• Modular group

Konzultácie k prednáške (4.3.)

Bola reč o tom, či by sa dalo urobiť "niečo ako determinant" aj pre iné ako štvorcové matice. Pridáme nejaké linky. (Stručne zhrnutá odpoveď je, že ak chceme aby determinant súčinu bol súčin determinantov, tak niečo také nedostaneme. Ale existujú nejaké veci, čo sa aspoň trochu podobajú na determinant.) Nejaké linky:

• Determinant of a non-square matrix
• Determinant-like expression for non-square matrices
• An extension of the determinant to non square matrices
• Cauchy–Binet formula - $\det(AB)$ vieme pre neštvorcové matice vyjadriť pomocou determinantov súčinov "správnych" podmatíc.

Výberové cviko (5.3.)
Tu sa dajú nájsť pozbierané viaceré prepočítané príklady na veci súvisiace s témami z tejto kapitoly: viewtopic.php?t=993

Ortonormálna báza.
Skúsili sme nájsť ortogonálnu (ortonormálnu) bázu priestoru $S=[(1,0,1,0),(0,2,-1,1),(0,2,1,3)]$.
Ukázali sme si postup cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou riešenia sústav.
Pri GS-procese sme si uvedomili, že:
* Môže byť užitočné upraviť najprv na RTM - okrem iného zistíme, či pôvodne zadané vektory tvoria bázu. (Ak by ju netvorili, tak by sme si to všimli aj pri GS-procese, lebo by nám vyšiel nulový vektor. Ale takto si ušetríme robotu.)
* Pomôže začať s jednoduchšou bázou - napríklad s tou, ktorú sme dostali z RTM (veľa núl - jednoduchšie výpočty) alebo tiež ak máme nejakú bázu, kde už sú nejaké vektory na seba kolmé.
Spomeniem ale, že niekedy je treba GS-proces naozaj pustiť na konkrétne vektory a nemôžeme si vyberať bázu. Napríklad sa vo vyšších ročníkoch stretnete s QR-rozkladom matice, tam sa dá využiť práve GS-proces.
Pri postupe cez sústavy sme si všimli, že hľadanie sústavy, ktorej riešením je daný podpriestor, veľmi úzko súvisí s hľadaním $S^\bot$. (Ak pracujeme so štandardným skalárnym súčinom.)
Nejaké príklady na nájdenie ortogonálnej (ortonomálnej) bázy na fóre: viewtopic.php?t=604 a viewtopic.php?t=852

Projekcie.
Trochu sme sa rozprávali o tom, že projekcia na jednorozmerný podpriestor sa dá napísať ako $\vec u^T\vec u$, ak $\vec u$ je vektor, ktorý generuje $S$ a má jednotkovú dĺžku. Napríklad v predošlom príklade bol priestor $S^\bot$ jednorozmerný. Teda by sme veľmi ľahko vedeli nájsť maticu projekcie na $S^\bot$, označme ju $P'$. Maticu projekcie na $S$ by sme potom vedeli dostať ako $P=I-P'$.

Pozreli sme sa na príklad, ako vyrátať ortogonálnu projekciu pre daný vektor a maticu projekcie. (Úlohy 3 a 4 z 00skal.pdf, t.j. pre podpriestor $S=[(1,1,1,1),(1,2,2,-1),(1,0,0,3)]$.)
Tieto úlohy sme síce už nestihli aj dopočítať, ale aspoň sme si spomenuli rôzne spôsoby, ktoré sa dajú použiť pri riešení takéhoto typu úlohy.
Úloha na nájdenie matice projekcie je prepočítaná tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=824

4. týždeň
Povinné cviko (8.3.)
Keďže sa na cviku robil príklad so súčinom horných trojuholníkových matíc, pridám linku na fórum: viewtopic.php?t=1006
Tu sú nejaké ďalšie veci súvisiace s takýmito maticami.
Kedy je horná trojuholníková matica regulárna: viewtopic.php?t=1007
Inverzná matica k HTM je opäť HTM: viewtopic.php?t=1008 a viewtopic.php?t=1009

Výberové cviko (12.3.)
Zopakovali sme, čo sa dá použiť pri výpočte matice projekcie.
Ukázali sme, že $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ platí v ľubovoľnom euklidovskom vektorovom priestore.
Pre konečnorozmerné priestory sme ukázali $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Povedali sme si niečo o priestore $\ell_2$ a ukázali sme si v ňom príklad podpriestoru takého že $S^{\bot\bot}\ne S$ a $S\oplus S^\bot\ne V$: viewtopic.php?t=1654
(Tu sme používali súčet nekonečného radu - čo je vec, ktorú ste ešte na analýze nepreberali. Ale azda tie veci, ktoré sme tu použili boli pomerne uveriteľné - a prípadne sa k tomuto príkladu môžete ešte vrátiť, keď sa naučíte niečo viac o radoch.)

5. týždeň
Povinné cviko (15.3.)
Wikipédia: Rovnobežníkové pravidlo

Priemet na jednorozmerný podpriestor: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=575

Na tomto cviku sa v PU4/5 sa vyskytli matice, pomocou ktorých sadajú reprezentovať komplexné čísla.
Matica z PU4/6 sa trochu podobá na maticu, ktorá sa dá použiť na zavedenie kvaterniónov.
Niečo viac o tomto sa dá nájsť tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=571

Výberové cviko (19.3.)
Riešili sme úlohy z 01afin.pdf.
Riešili sme úlohu 1 z časti afinné a barycentrické súradnice; t.j. HZK, Cvičenie 2.1.3. Táto úloha vlastne súvisí s tým, že afinný súradnicový systém pre n-rozmerný afinný priestor určuje afinný izomorfizmus medzi týmto priestorom a $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$.
Pozreli sme sa na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu a nájsť vyjadrenie nejakého bodu v tvare barycentrickej kombináci. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Porozprávali sme sa aj trochu o nejakej intuícii súvisiacej s barycentrickými kombináciami. (Barycentrické kombinácie dvoch bodov dávajú úsečku resp. priamku. Barycentrické kombinácie troch bodov nám dajú trojuholník, rovinu.)
Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu sa tiež do istej miery týka barycentrických súradníc - tú som ale nestihol: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1243 (Aj na utorkovom cviku ste trochu hovorili o tom, že body tvoria b.s.s. $\Leftrightarrow$ neležia v tej istej nadrovine.)

6. týždeň
Výberové cviko (26.3.)
Tento týždeň cvičenie odpadlo (za čo sa ospravedlňujem).
Ak by bolo, tak by sme sa pozerali na úlohy z 02vzaj.pdf.
Linky na nejaké úlohy týkajúce sa parametrického vyjadrenia sú pozbierané tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1509 Napríklad tento príklad je vyriešený pomerne detailne: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=857
Niečo o vzájomných polohách sa dá nájsť na fóre: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=859
Nahral som videá s riešením úloh 1.2d a 2.8. Dal som ich na Google Drive.
A tiež na Microsoft Stream (vidíte ich teda aj v Teams na záložke s videami):
https://web.microsoftstream.com/video/f ... f1d76718be
https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 2b1a206d98
(Mrzí ma, že cvičenie odpadlo - ale na druhej strane aj takéto niečo má nejaké výhody. Napríklad môžete preskočiť výpočty alebo časti, ktoré sú vám jasné. Alebo naopak zastaviť si video a skúsiť si to isté vypočítať samostatne.)

7. týždeň
V piatok bol štátny sviatok, takže cvičenie odpadlo.

8. týždeň
Výberové cviko (9.4.)
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf.

Pozreli sme sa najprv na prvé dve úlohy. To sú výsledky, ktoré sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností.

• Namiesto rátania vzdialenosti môžeme jednoducho vyrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{A_1A_2}$ do $V^\bot$, kde $V=V_1+V_2$. ($A_1$ je nejaký bod prvého podpriestoru, $V_1$ jeho vektorová zložka; podobne $A_2$, $V_2$ pre druhý podpriestor.)
• Veľmi podobná vec je v úlohe 1.2 - hľadanie vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov môžeme previesť na hľadanie vzdialenosti dvoch rovnobežných podpriestorov resp na hľadanie vzdialenosti bodu od podpriestoru. Konkrétne ide o vzdialenosť bodu $A_1$ od podpriestoru $A_2+V$ resp. vzdialenosť rovnobežných podpriestorov $A_1+V$ a $A_2+V$.

Prepočítali sme viacero úloh na vzdialenosti:

• Úloha 1.3 - vzdialenosť bodu od priamky. Tu sme si povedali aj niečo o tom, že vlastne túto vzdialenosť vieme nájsť ako minimum kvadratickej funkcie.
• Úloha 1.4 - vzdialenosť dvoch priamok. (To sme vlastne previedli na hľadanie kolmej projekcie vektora.)
• Úloha 1.10 - vzdialenosť priamky a roviny. (Mimobežné - previedli sme to na úlohu hľadať vzdialenosť bodu od nadroviny.)
• Úloha 1.8 - vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín. (Tu sme si už len stihli povedať, ako by sme túto úlohu rátali.)

Viacero úloh na vzdialenosti sa dá nájsť vyriešených na fóre - viacero liniek je pozbieraných v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509

9. týždeň
Výberové cviko (16.4.)

Metóda najmenších štvorcov
Prešli sme jednu úlohu na výpočet približného riešenia sústavy.
Na fóre sú nejaké úlohy súvisiace s touto témou: viewtopic.php?t=1429 a viewtopic.php?t=1433

Podobnosť
Začali sme s nejakými úlohami na podobnosť matíc z 05podob.pdf.
Pozreli sme sa na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Urobili sme príklady a, b z úlohy 1.1. Nejaké takéto úlohy (vrátane tých, čo sme urobili na cviku) nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655
Pri tejto úlohe sme tiež videli ako hľadať vlastné čísla a vlastné vektory. A tiež sme si pripomenuli nejaké výsledky o tom, kedy je matica diagonalizovateľná.
Takisto sme zopakovali ako stopa a determinant súvisia s koeficientami charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642 (A že pre matice $2\times2$ zo stopy a determinantu už vieme celý charakteristický polynóm.)

Ukázali sme, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, stopu, determinant, hodnosť. Pri tom sme použili (a dokázali) aj to, že $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.
Pri determinante sme si povedali aj niečo o tom, že determinant môžeme chápať ako vlastnosť lineárnej transformácie. (Hovorí nám, či $f$ mení orientáciu a koľkokrát zväčšuje objem.) Takže by to malo byť niečo, čo nezávisí od toho, v akej báze sa na toto zobrazenie pozeráme. A teda naozaj môžeme očakávať, že pre všetky podobné matice musí byť determinant rovnaký. (To isté platí pre iné vlastnosti matíc, ktoré vieme nejako intepretovať tak, že to je vlastne vlastnosť príslušnej lineárnej stransformácie.)

Teraz budeme často potrebovať pri riešení nejakých úloh nájsť korene charakteristického polynómu - často to bude polynóm vyššieho stupňa než druhého. Tu sú nejaké veci, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091

Neviem, či sa k tomu stihnem niekedy dostať, ale pridám aspoň linku na rekurencie ako ukážku problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639