4. týždeň (9.3.)
Na začiatku sme ešte hovorili nejaké organizačné veci:
* d.ú.: Dohodli sme sa, že veci môžu fungovať tak ako doteraz. (Odovzdávať buď papierovo alebo mailom. Nejaký feedback mailom a na fóre, prípadne v teams.)
* konzultácie:
viewtopic.php?t=1776
Opäť pripomeniem, že viacero typov úloh z tejto kapitoly nájdete vyriešených na fóre:
viewtopic.php?t=993 (Konkrétne sú tam aj nejaké úlohy na nájdenie matice projekcie.)
Matica ortogonálnej projekcie
Pozreli sme sa na viacero spôsobov, ako vypočítať maticu kolmej projekcie. (Pre istotu zdôrazním, že tu všetko robíme pri
štandardnom skalárnom súčine.)
Trochu sme sa rozprávali o tom, že projekcia na jednorozmerný podpriestor sa dá napísať ako $\vec u^T\vec u$, ak $\vec u$ je vektor, ktorý generuje $S$ a má jednotkovú dĺžku.
Potom sme sa pozreli na príklad, kde bol zadaný podpriestor $S\subseteq\mathbb R^4$ taký, že $\dim(S)=3$. Teda v tomto príklade je priestor $S^\bot$ jednorozmerný. Teda by sme veľmi ľahko vedeli nájsť maticu projekcie na $S^\bot$, označme ju $P'$. Maticu projekcie na $S$ by sme potom vedeli dostať ako $P=I-P'$. (Rozmysleli sme si teda súčasne aký je vzťah medzi projekciou na $S$ a projekciou na $S^\bot$.)
Teda vidíme, že prípady $\dim(S)=1$ a $\dim(S^\bot)=n-1$ sú pomerne jednoduché.
Pripomenuli sme si nejaké veci, ktoré vždy platia pre maticu ortogonálnej projekcie pri štandardnom skalárnom súčine.
- $P$ je symetrická
- Platí $P^2=P$
- Stopa tejto matice sa rovná dimenzii podpriestoru, na ktorý premietam.
Niektoré z týchto vecí (symetrickosť, stopa) sú také, že sa dajú overiť veľmi ľahko. (A ak nevychádzajú, tak viem, že niekde vo výpočte mám chybu.)
Úplnú skúšku správnosti by som vedel urobiť tak, že skontrolujem rovnosti $\vec xP=\vec x$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S$ a $\vec xP=\vec 0$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S^\bot$.
Pozreli sme sa ešte na taký príklad $S\subseteq\mathbb R^4$, kde $\dim(S)=2$. (T.j. nedá sa použiť to, čo sme spomenuli doteraz - pre podpriestory s dimenziou resp. kodimenziou rovnou 1.)
Konkrétne to bol podpriestor $S=[(2,1,0,1),(1,-1,3,-1)]$.
Najprv sme našli bázu $S^\bot$.
Jeden možný postup je využiť to, že $\vec xP=\vec x$ platí pre všetky $\vec x\in S$ a $\vec xP=\vec 0$ platí pre ľubovoľné $\vec x\in S^\bot$. Vďaka tomu vieme nájsť maticu $P$ spôsobom, akým sme sa naučili hľadať maticu zobrazenia, ak poznáme obrazy vektorov z nejakej bázy.
Ako inú možnosť sme vyskúšali nájsť ortonormálnu bázu $S$. (A súčasne sme si pripomenuli dva spôsoby, ktoré sme videli pre hľadanie ortonormálnej bázy: Gramm-Schmidt, sústavy.)
Ak sme mali ortonormálnu bázu, tak z nej sme vedeli vyjadriť maticu projekcie ako $P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2$. Resp. všeobecne, ak by sme mali $\dim(S)=k$ a našli by sme nejakú ortonormálnu bázu $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$, tak máme
$$P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$$
t.j. projekcia na $S$ sa dá takto nasčítať z projekcií na vhodné jednorozmerné podpriestory. (Aj sme si na obrázku ukázali, že takéto niečo by určite nemohlo fungovať, ak by $\vec u_1$, $\vec u_2$ neboli na seba kolmé.)
Ortogonálny doplnok
Ukázali sme, že $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ platí v ľubovoľnom euklidovskom vektorovom priestore.
Pre konečnorozmerné priestory sme ukázali $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Pripomenuli sme, že rovnosť $S^{\bot\bot}=S$ ste na prednáške dokázali pre podpriestory konečnorozmerného priestoru. Dajú sa nájsť príklady ukazujúce, že vo všeobecnosti to neplatí.
Konkrétne ak by sme si zobrali priestor $V=\ell_2$, tak tam vieme nájsť podpriestor taký, že $S^{\bot\bot}\ne S$ a $S\oplus S^\bot\ne V$:
viewtopic.php?t=1654
(Tento príklad používa súčet nekonečného radu - čo je vec, ktorú ste ešte na analýze zatiaľ nepreberali. Ale niektorí z vás to možno už poznáte - alebo sa k tomu môžete neskôr vrátiť. Navyše, ako si prečítate v topicu na ktorý som dal linku, presne takéto veci ešte v nejako kontexte stretnete vo vyšších ročníkoch.)
Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video. A tiež linka na Whiteboard - ktorý tam nájdete aj vo formáte SVG, PNG, PDF.
Tu je
linka na SharePoint.