msleziak.com

V tomto topicu budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Určite to nebude tak, že by cvičenia pre všetky tri skupiny vyzerali totožne - ale keďže medzi sebou koordinujeme, čo zhruba chceme robiť na cvikách, dá sa počítať s tým, že aj na ostatných skupinách sa vyskytli približne rovnaké témy resp. podobné typy príkladov.

1. týždeň (21.2):

Rátali sme úlohy z 01skal.pdf. (Také isté alebo veľmi podobné úlohy sú aj v poznámkach k prednáške za kapitolou o skalárnych súčinoch.)

Vlastne sme prešli prvú a druhú úlohu, ktoré spolu navzájom súvisia.
Videli sme, že pre ľubovoľnú symetrickú maticu výraz $\langle \vec x,\vec y\rangle=\vec xA\vec y^T$ spĺňa podmienky z definície skalárneho súčinu okrem kladnej definitnosti.
Všetky časti prvej úlohy boli výrazy takéhoto tvaru - čiže sme sa venovali už iba tomu, ako overiť kladnú definitnosť. (Čo sme vlastne zvyčajne spravili tak, že sme sa pozerali, či vieme zadaný výraz upraviť na súčet druhých mocnín vynásobených nejakými konštantami - vo viacerých úlohách to šlo pomerne rýchlo doplnením na štvorec.)

Potom sme sa ešte pozreli na to, že predpis $$\sum_{n=0}^\infty x_n y_n$$ dáva skalárny súčin na priestore všetkých reálnych postupností, ktoré sú od istého člena nulové. (Aj keď tu sme si stručne museli povedať ešte niečo o radoch - v tomto prípade bola ale situácia dosť jednoduchá - mali sme síce súčet nekonečne veľa čísel, ale iba konečne veľa z nich bolo nenulových.)
Tento príklad sme robili preto, aby ste videli aspoň jeden príklad euklidovského vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný.

2. týždeň (28.2):
Rátali sme úlohy z 01skal.pdf. (Také isté alebo veľmi podobné úlohy sú aj v poznámkach k prednáške za kapitolou o skalárnych súčinoch.)
Ortogonálny doplnok. Úloha nájsť dimenziu a bázu pre $S^\bot$, kde $S$ bol nejaký podpriestor v $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom. Súčasne sme si vysvetlili, ako to súvisí s hľadaním homogénnej sústavy pre daný podpriestor. Stihli sme úlohy 12d a 12e.
Ortonormálna báza. Prepočítali sme nejaké príklad na hľadanie ortonormálnej bázy - vysvetlili sme si, ako ju môžeme hľadať cez Gram-Schmidtov proces a ako inú možnosť sme si ukázali riešenie pomocou sústav rovníc. (A tiež sme sa trochu zamysleli na tým, čo by sa stalo, ak Gram-Schmidtov proces použijeme na vektory, ktoré sú lineárne závislé.)
Príklad takéhoto typu je vyriešený aj v texte. Tie úlohy, ktoré sme robili na cviku - úlohy 13b, 13c - sú vypočítané aj na fóre. : viewtopic.php?t=852
Ortogonálny doplnok. Ešte sme ukázali, že pre ľubovoľný podpriestor platí $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$. (Pričom sme si rozmysleli aj to, že vo všeobecnosti platí $S\subseteq S^{\bot\bot}$. Spomenul som, že $S=S^{\bot\bot}$ platí pre podpriestory konečnorozmerných priestorov - dôkaz bude na najbližšej prednáške; pre podpriestory v $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom sme videli, ako platnosť tejto rovnosti vyplýva z toho, čo vieme o sústavách rovníc.)
K úlohe o $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$ pridám aj linku na staršie študentské riešenie: viewtopic.php?t=1699

3. týždeň (6.3):
Stále sme sa venovali úlohám z 01skal.pdf.
Úloha 8: Pytagorova veta, kosínová veta, rovnobežníkové pravidlo. (Aj sme sa trochu porozprávali o tom, že názvy skutočne sedia s nejakou geometrickou predstavou.)
Úloha 9: Rovnosť $|\vec\alpha|=|\vec\beta|$ platí p.v.k. vektory $\vec\alpha-\vec\beta$ a $\vec\alpha+\vec\beta$ sú na seba kolmé.
Úloha 10: Vektory $\vec\alpha$ a $\vec\beta$ sú na seba kolmé p.v.k. $(\forall c\in\mathbb R)|\vec\alpha+c\vec\beta|\ge|\vec\alpha|$.
Projekcie
Ortogonálna projekcia $p\colon V\to V$ je lineárne zobrazenie. Rozmysleli sme si tiež to, čo je jeho jadrom a obrazom a že platí $p\circ p=p$ (úloha 17).
Ešte sme si stihli ukázať to, že ak sa kolmá projekcia na jednorozmerný podpriestor $S=[\vec\alpha]$, kde $|\vec\alpha|=1$ sa dá vyjadriť ako $p(\vec x)=\langle\vec x,\vec\alpha\rangle\vec\alpha$. (Toto je vlastne úloha 18b.)
Pozreli sme sa na úlohu 19, kde sme sa snažili nájsť pre daný vektor jeho priemet do $L$ aj do $L^\bot$: $(4,1,1,6)=\underset{\in L}{\underbrace{(1,3,3,3)}}+\underset{\in L^\bot}{\underbrace{(3,-2,-2,3)}}$. Ukázali sme si, ako sa to dá pomocou sústavy a aj to, že v tomto prípade je $L^\bot$ jednorozmerný, čiže kolmý priemet na $L^\bot$ sa dá vypočítať aj na základe úlohy 18b.

4. týždeň (13.3):
Venovali sme sa úlohám z 02kvadform.pdf.
Kvadratické formy, kongruentnosť, kanonický tvar.
Ukázali sme, že kongruentnosť dáva reláciu ekvivalencie na množine reálnych symetrických matíc danej veľkosti. (T.j. máme množinu všetkých symetrických matíc $n\times n$ nad poľom $\mathbb R$, a naša relácia je daná podmienkou, že existuje regulárna matica $P$ taká, že $B=PAP^T$.)
Popritom sme si rozmysleli $(P^T)^{-1}=(P^{-1})^T$. (Vedeli sme to zdôvodniť pomerne ľahko z $(AB)^T=B^TA$.)
Z úlohy 4 sme vyriešili časti 4a, 4b, 4c, t.j. našli sme kanonický tvar, transformáciu premenných a zodpovedajúci maticový vzťah:
* Pre $x_1^2+5x_2^2-4x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3$. (Doplnením na štvorec a aj pomocou matíc. Všimli sme si, že tu nám jedným postupom vyšlo $A=PDP^T$ a druhým $QAQ^T=D$ a zhodou okolností nám dokonca vyšlo $Q=P^{-1}$. Ale upozornil som na to, že matice $P$ resp. $Q$ nie sú jednoznačne určené.)
* $4x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3-3x_2x_3$ (pomocou matíc)
* $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$ (úpravou)
Pri prvej úlohe sme strávili nejaký čas aj tým, že sme si vysvetlili, prečo vlastne používanie riadkových a stĺpcových úprav naozaj dá maticu, ktorá je kongruentná s pôvodnou.
Na fóre sú nejaké príklady takéhoto typu vyriešené tu (prvý z nich je práve príklad o $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$):
viewtopic.php?t=677
viewtopic.php?t=678

Domácu úlohu som tento týždeň nezadával - nejaká d.ú. týkajúca sa kvadratických foriem pribudne budúci týždeň. (Vtedy budeme mať prebraté na prednáške aj na cvičeniach všetko týkajúce sa kvadratických foriem.)

5. týždeň (20.3):
Stále sme sa zaoberali úlohami z 02kvadform.pdf.
Najprv sme prešli pár príkladov, kde bolo treba overiť kladnú definitnosť. (A pripomenuli sme aj ako to súvisí so skalárnym súčinom.)
Konkrétne to boli úlohy 5 a 6.
Úloha 4: Ak matica $A$ je kladne definitná, tak $a_{nn}>0$. Tu sú linky na študentské riešenia tejto úlohy z minulých rokov: viewtopic.php?t=258 a viewtopic.php?p=3161
Rozmysleli sme si, že jeden z použitých argumentov by sa dal rozšíriť na to, že by sme vedeli dokázať, že rohové determinanty v pravom dolnom rohu kladne definitnej matice musia byť kladné. (Veľmi podobným spôsobom, ako sme to urobili na prednáške pri dôkaze jednej z implikácií v Sylvestrovom kritériu.)
Pozreli sme sa na úlohu 1d, kde bolo treba nájsť hodnoty parametra, pre ktoré je zadaná matica kladne definitná. Táto úloha je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=289
Úloha 8a - sú zadané nejaké kvadratické formy, pýtame sa, ktoré z nich sú také, že jednu viem zmeniť na druhú lineárnou regulárnou transformáciou premenných. (Ekvivalentne: Či zodpovedajúce matice sú kongruentné.) Rozmysleli sme si, že stačí nájsť kanonický tvar a pozrieť sa na to, či nám vyjde pre ne rovnaký počet $1$, počet $-1$, počet núl.

Na konci som ešte stručne spomenul to, že kladná (záporná) definitnosť súvisí s extrémami funkcií viac premenných. (Naozaj veľmi stručne - iba som pripomenulo to, čo viete o funkciách jednej premennej. A aspoň som nakreslil, ako vyzerá graf kvadratickej formy dvoch premenných, keď už je v kanonickom tvare - t.j. vlastne rotačný a hyperbolický paraboloid.)
Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na Wikipédii: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428

6. týždeň (27.3):
Determinanty.
Dnes sme počítali príklady na determinanty - čiže je to do istej miery opakovanie z minulého semestra. (Ale chcel som sa k tejto téme vrátiť jednak preto, že je užitočná - a minulý semester sme stihli venovať jej na konci dosť málo času. A súčasne teraz budeme determinanty používať pri výpočte charakteristického polynómu.)
Riešili sme nejaké príklady z 00deter.pdf.

Úloha 3*, t.j. iné odvodenie Cramerovho pravidla (použitím toho, že determinant súčinu matíc je súčin determinantov). Dá sa nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1497

Úloha 17 - determinant:
$$\begin{vmatrix}
x^{2} & (x+1)^{2} &(x+2)^{2} \\
(x+1)^{2} &(x+2)^{2} & (x+3)^{2}\\
(x+2)^{2} & (x+3)^{2} & (x+4)^{2}
\end{vmatrix}=-8$$
Rozmysleli sme si aj to, že ak by v exponente boli prvé mocniny, tak dostaneme lineárne závislé riadky a teda determinant bude nula. (Podobný argument sa dá použiť v úlohe 16.) Úlohy 8 a 9 - "determinant a deliteľnosť".
Ak viete, že $195$, $403$ a $247$ sú násobky čísla $13$, viete ukázať (bez toho, aby ste ho museli vyrátať), že aj
$\begin{vmatrix}
1 & 9 & 5 \\
4 & 0 & 3 \\
2 & 4 & 7
\end{vmatrix}$ je celočíselný násobok $13$?
Ak matica $4\times4$ obsahuje iba čísla $\pm1$, tak $|A|$ je celočíselný násobok štvorky.

Úloha 11 - výpočet determinantu$$D_n=
\begin{vmatrix}
a+b & ab & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & a+b & ab & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & a+b & ab & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & a+b & ab \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & a+b
\end{vmatrix}$$
Aj tu pridám nejakú linku: viewtopic.php?t=577

Úloha 13 - výpočet determinantu $$D_n=
\begin{vmatrix}
x & a & a & \ldots & a \\
a & x & a & \ldots & a \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a & \ldots & a & x & a \\
a & \ldots & a & a & x
\end{vmatrix}$$
Nejaké determinanty matíc $n\times n$, ktoré sú do istej miery podobné, sú napríklad tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=853 (Na rozdiel od determinantu z úlohy 11, tu nemáme žiadne nuly, takže snažiť sa použiť Laplaceov rozvoj by asi nebolo až také priamočiare.)
Nejaké linky, kde sa dá nájsť tento determinant: https://math.stackexchange.com/q/382799, https://math.stackexchange.com/q/86644 a https://math.stackexchange.com/q/84206.

7. týždeň (3.4):
Podobnosť matíc.
Väčšinu cvika sme sa venovali úlohám z 03podob.pdf.
Zopakovali sme definíciu podobnosti a ozmysleli sme si, že podobnosť matíc je relácia ekvivalencie (úloha 2).
Ak $A=cI$, tak jediná matica podobná s $A$ je matica $A$, t.j. trieda ekvivalencie je v takom prípade jednprvková (úloha 5).
(Ak stihneme, tak sa vrátime k úlohe 6 - ukázať aj opačnú implikáciu; t.j. každá matica, ktorá má jednoprvkovú triedu ekvivalencie, je tvaru $A=cI$; úloha 6.)
Ukázali sme, že $A$ a $B$ sú podobné, tak to isté platí aj pre $A^n$ a $B^n$ a tiež pre $A^{-1}$ a $B^{-1}$. (V druhom prípade navyše treba predpoklad o regulárnosti matíc - aby existovala inverzná matica.)
Ukázali sme, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, stopu, determinant. Stopu a determinant ešte spomenieme na prednáške - budeme vidieť ako súvisia s koeficientmi charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642
Ukázali sme aj to, že pre stopu platí $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$. (Keďže sme to používali v dôkaze o stope.)
Využili sme, že násobenie regulárnou maticou nemení hodnosť: viewtopic.php?t=1416 a viewtopic.php?t=828

Vlastné vektory a vlastné čísla.
Pripomenuli sme definíciu vlastnej hodnoty, vlastného vektora a charakteristického polynómu. Ukázali sme si aspoň jednu úlohu takého typu, kde sme chceli nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$. Konkrétne sme prepočítali úlohu 13a z 04diag.pdf - v nej to vyšlo tak, že $A$ nie je podobná s diagonálnou maticou. (Viacero úloh takéhoto tvaru ešte určite prepočítame.)
Zopár príkladov tohto typu na fóre:
viewtopic.php?t=1268
viewtopic.php?t=1096
viewtopic.php?t=886
viewtopic.php?t=644
Pridám opäť linky na nejaké rady k hľadaniu koreňov charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
(Aj o tomto sa ešte na cviku budeme rozprávať.)

8. týždeň (10.4):
Podobnosť s diagonálnou maticou.
Pozreli sme sa ešte na jednu úlohu, kde sme chceli nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$. Konkrétne sme prepočítali úlohu 13d z 04diag.pdf. Tentokrát to bola taká úloha, kde matice $P$ a $D$ existovali.
Dosť veľa času sme strávili tým, že sme sa pozreli na niektoré veci užitočné pri hľadaní koreňov charakteristického polynómu (spomenuli sme napríklad deliteľnosť pri hľadaní celočíselných koreňov a aj Hornerove schému): viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091

Vyriešili sme úlohu 6 z 03podob.pdf - ak nejaká matica je podobná iba sama so sebou, tak $A=cI$. (To je vlastne opačná implikácia k úlohe, ktorú sme vyriešili minule.)

Ešte sme sa pozreli na maticu rotácie o uhol $\varphi$, t.j. $A=\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sin\varphi \\
-\sin\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}$ a rozmysleli sme si, že s výnimkou prípadov $\varphi=k\pi$ nemá v reálnych číslach vlastné hodnoty. (Ale v komplexných číslach by sme vedeli nájsť vlastné hodnoty a aj vlastné vektory - aj keď toto sme už vypočítať nestihli.) Geometricky tiež vidno, že neexistujú sú nenulové vektory, pre ktoré by otočenie robilo to isté čo vynásobenie vhodnou konštantou. Toto je úloha 5 z 04diag.pdf.

9. týždeň (17.4):
Ukázali sme, ako sa dá vypočítať determinant blokovej matice, ak bloky pod diagonálou sú nulové: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Pri odvodení nám pomohlo to, že sme si rozmysleli, ako sa násobia blokové matice.
(Na túto vec sme sa chceli pozrieť najmä preto, že to niekedy môže pomôcť pri výpočte charakteristického polynómu.)
Ortogonálna podobnosť
Venovali sme sa úlohám z 05ortog.pdf.
Ukázali sme, že pre symetrickú maticu sú vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám navzájom kolmé: viewtopic.php?t=1691
Pozreli sme sa na dva príklady, kde bolo pre danú reálnu symetrickú maticu $A$ treba nájsť matice $P$ a $D$ tak, že platilo $PAP^{-1}=PAP^T=D$, pričom $P$ je ortogonálna a $D$ je diagonálna matica. Konkrétne to boli úlohy 6g a 6i. (V jednom z nich sme dostali dvojnásobnú vlastnú hodnotu - tam teda bolo treba ešte nejakú prácu navyše, aby sme dostali vlastné vektory, ktoré sú na seba kolmé.)
Nejaké príklady takéhoto typu sa dajú nájsť vyriešené aj tu na fóre: viewtopic.php?t=893 a viewtopic.php?t=691
K ortogonálnej podobnosti pridám aj linku toto video. Malo by byť prístupné pre ľudí v rámci univerzity.
Spomenuli sme, ako vyzerajú ortogonálne matice veľkosti $2\times2$ - úloha 5.
Pozreli sme sa na úlohu 7c - pre symetrickú maticu $3\times3$ sme vedeli prísť na to, ako vyzerá kanonický tvar, ak sam mali zadané $\det(A)=\operatorname{Tr}(A)=0$. Niečo k tejto úlohe je aj tu: viewtopic.php?t=1123