Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1770
viewtopic.php?t=1645
viewtopic.php?t=1496 a viewtopic.php?t=1524
viewtopic.php?t=1402
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593
Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
1. a 2. týždeň:
Cvičenie nebolo - obidva týždne namiesto cvičenia bola prednáška.
EDIT: Keďže už máte za sebou PU1 a PU2, tak pridám aj nejaké linky týkajúce sa príkladov odtiaľ:
* Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram? - túto linku som spomínal aj tu: viewtopic.php?t=555
* Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ nejako súvisí aj s komplexnými číslami: viewtopic.php?t=571
* Súčin horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006 Trochu to súvisí aj s otázkou, ako by vyzerala inverzná matica k hornej trojuholníkovej: viewtopic.php?t=1007 viewtopic.php?t=1008 viewtopic.php?t=1009
Vo viac úlohách sa vyskytli tieto grupy matíc:
Cvičenie nebolo - obidva týždne namiesto cvičenia bola prednáška.
EDIT: Keďže už máte za sebou PU1 a PU2, tak pridám aj nejaké linky týkajúce sa príkladov odtiaľ:
* Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram? - túto linku som spomínal aj tu: viewtopic.php?t=555
* Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ nejako súvisí aj s komplexnými číslami: viewtopic.php?t=571
* Súčin horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006 Trochu to súvisí aj s otázkou, ako by vyzerala inverzná matica k hornej trojuholníkovej: viewtopic.php?t=1007 viewtopic.php?t=1008 viewtopic.php?t=1009
Vo viac úlohách sa vyskytli tieto grupy matíc:
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
3. týždeň (1.3.)
Determinanty
Je to úloha 6 z 00deter.pdf.
Ukázali sme, ako sa dá vypočítať determinant blokovej matice, ak bloky pod diagonálou sú nulové: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Pri odvodení nám pomohlo to, že sme si rozmysleli, ako sa násobia blokové matice.
Skalárne súčiny
Tu sa dajú nájsť pozbierané viaceré prepočítané príklady na veci súvisiace s témami z tejto kapitoly: viewtopic.php?t=993
Ortogonálna a ortonormálna báza
Zobrali sme priestor z úlohy 10 a vypočítali sme bázu a dimenziu $S^\bot$. Súčasne sme si povedali, ako to súvisí s úlohou nájsť pre daný podpriestor sústavu rovníc. A pripomenuli sme si vzťah $(S^\bot)^\bot=S$ (ktorý platí v konečnorozmerných priestoroch).
Pre ten istý priestor sme si vyskúšali ako nájsť ortogonálnu bázu. Ukázali sme si postup cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou riešenia sústav.
Pri GS-procese sme si uvedomili, že:
* Môže byť užitočné upraviť najprv na RTM - okrem iného zistíme, či pôvodne zadané vektory tvoria bázu. (Ak by ju netvorili, tak by sme si to všimli aj pri GS-procese, lebo by nám vyšiel nulový vektor. Ale takto si ušetríme robotu.)
* Pomôže začať s jednoduchšou bázou - napríklad s tou, ktorú sme dostali z RTM (veľa núl - jednoduchšie výpočty) alebo tiež ak máme nejakú bázu, kde už sú nejaké vektory na seba kolmé.
Spomeniem ale, že niekedy je treba GS-proces naozaj pustiť na konkrétne vektory a nemôžeme si vyberať bázu. Napríklad sa vo vyšších ročníkoch stretnete s QR-rozkladom matice, tam sa dá využiť práve GS-proces.
Pri postupe cez sústavy sme si všimli, že hľadanie sústavy, ktorej riešením je daný podpriestor, veľmi úzko súvisí s hľadaním $S^\bot$. (Ak pracujeme so štandardným skalárnym súčinom.)
Nejaké príklady na nájdenie ortogonálnej (ortonomálnej) bázy na fóre: viewtopic.php?t=604 a viewtopic.php?t=852
Ortogonálny doplnok
Ukázali sme, že $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ platí v ľubovoľnom euklidovskom vektorovom priestore.
Rozmysleli sme si, že $(S+T)^\bot=S^\bot \cap T^\bot$.
Pre konečnorozmerné priestory platí $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$. (Tu sme stihli ukázať iba jednu inklúziu, druhá zostala na rozmyslenie.)
Pripomenuli sme, že rovnosť $S^{\bot\bot}=S$ ste na prednáške dokázali pre podpriestory konečnorozmerného priestoru. Dajú sa nájsť príklady ukazujúce, že vo všeobecnosti to neplatí.
Konkrétne ak by sme si zobrali priestor $V=\ell_2$, tak tam vieme nájsť podpriestor taký, že $S^{\bot\bot}\ne S$ a $S\oplus S^\bot\ne V$: viewtopic.php?t=1654
(Tento príklad používa súčet nekonečného radu - čo je vec, ktorú ste ešte na analýze zatiaľ nepreberali. Ale niektorí z vás to možno už poznáte - alebo sa k tomu môžete neskôr vrátiť. Navyše, ako si prečítate v topicu na ktorý som dal linku, presne takéto veci ešte v nejako kontexte stretnete vo vyšších ročníkoch.)
Determinanty
Je to úloha 6 z 00deter.pdf.
Ukázali sme, ako sa dá vypočítať determinant blokovej matice, ak bloky pod diagonálou sú nulové: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Pri odvodení nám pomohlo to, že sme si rozmysleli, ako sa násobia blokové matice.
Skalárne súčiny
Tu sa dajú nájsť pozbierané viaceré prepočítané príklady na veci súvisiace s témami z tejto kapitoly: viewtopic.php?t=993
Ortogonálna a ortonormálna báza
Zobrali sme priestor z úlohy 10 a vypočítali sme bázu a dimenziu $S^\bot$. Súčasne sme si povedali, ako to súvisí s úlohou nájsť pre daný podpriestor sústavu rovníc. A pripomenuli sme si vzťah $(S^\bot)^\bot=S$ (ktorý platí v konečnorozmerných priestoroch).
Pre ten istý priestor sme si vyskúšali ako nájsť ortogonálnu bázu. Ukázali sme si postup cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou riešenia sústav.
Pri GS-procese sme si uvedomili, že:
* Môže byť užitočné upraviť najprv na RTM - okrem iného zistíme, či pôvodne zadané vektory tvoria bázu. (Ak by ju netvorili, tak by sme si to všimli aj pri GS-procese, lebo by nám vyšiel nulový vektor. Ale takto si ušetríme robotu.)
* Pomôže začať s jednoduchšou bázou - napríklad s tou, ktorú sme dostali z RTM (veľa núl - jednoduchšie výpočty) alebo tiež ak máme nejakú bázu, kde už sú nejaké vektory na seba kolmé.
Spomeniem ale, že niekedy je treba GS-proces naozaj pustiť na konkrétne vektory a nemôžeme si vyberať bázu. Napríklad sa vo vyšších ročníkoch stretnete s QR-rozkladom matice, tam sa dá využiť práve GS-proces.
Pri postupe cez sústavy sme si všimli, že hľadanie sústavy, ktorej riešením je daný podpriestor, veľmi úzko súvisí s hľadaním $S^\bot$. (Ak pracujeme so štandardným skalárnym súčinom.)
Nejaké príklady na nájdenie ortogonálnej (ortonomálnej) bázy na fóre: viewtopic.php?t=604 a viewtopic.php?t=852
Ortogonálny doplnok
Ukázali sme, že $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ platí v ľubovoľnom euklidovskom vektorovom priestore.
Rozmysleli sme si, že $(S+T)^\bot=S^\bot \cap T^\bot$.
Pre konečnorozmerné priestory platí $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$. (Tu sme stihli ukázať iba jednu inklúziu, druhá zostala na rozmyslenie.)
Pripomenuli sme, že rovnosť $S^{\bot\bot}=S$ ste na prednáške dokázali pre podpriestory konečnorozmerného priestoru. Dajú sa nájsť príklady ukazujúce, že vo všeobecnosti to neplatí.
Konkrétne ak by sme si zobrali priestor $V=\ell_2$, tak tam vieme nájsť podpriestor taký, že $S^{\bot\bot}\ne S$ a $S\oplus S^\bot\ne V$: viewtopic.php?t=1654
(Tento príklad používa súčet nekonečného radu - čo je vec, ktorú ste ešte na analýze zatiaľ nepreberali. Ale niektorí z vás to možno už poznáte - alebo sa k tomu môžete neskôr vrátiť. Navyše, ako si prečítate v topicu na ktorý som dal linku, presne takéto veci ešte v nejako kontexte stretnete vo vyšších ročníkoch.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
4. týždeň (8.3.)
Ortogonálna projekcia
Opäť pripomeniem, že viacero typov úloh z tejto kapitoly nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?t=993 (Konkrétne sú tam aj nejaké úlohy na nájdenie matice projekcie.)
Pre podpriestory z úloh 3 a 6 v 00skal.pdf sme zrátali maticu kolmej projekcie.
Videli viacero spôsobov, ako vypočítať maticu kolmej projekcie. (Pre istotu zdôrazním, že tu všetko robíme pri štandardnom skalárnom súčine.)
Trochu sme sa rozprávali o tom, že projekcia na jednorozmerný podpriestor sa dá napísať ako $\vec u^T\vec u$, ak $\vec u$ je vektor, ktorý generuje $S$ a má jednotkovú dĺžku.
Potom sme sa pozreli na príklad, kde bol zadaný podpriestor $S\subseteq\mathbb R^4$ taký, že $\dim(S)=3$. Teda v tomto príklade je priestor $S^\bot$ jednorozmerný. Teda by sme veľmi ľahko vedeli nájsť maticu projekcie na $S^\bot$, označme ju $P'$. Maticu projekcie na $S$ by sme potom vedeli dostať ako $P=I-P'$. (Rozmysleli sme si teda súčasne aký je vzťah medzi projekciou na $S$ a projekciou na $S^\bot$.)
Teda vidíme, že prípady $\dim(S)=1$ a $\dim(S^\bot)=n-1$ sú pomerne jednoduché.
Pripomenuli sme si nejaké veci, ktoré vždy platia pre maticu ortogonálnej projekcie pri štandardnom skalárnom súčine.
Úplnú skúšku správnosti by som vedel urobiť tak, že skontrolujem rovnosti $\vec xP=\vec x$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S$ a $\vec xP=\vec 0$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S^\bot$.
Pozreli sme sa ešte na taký príklad $S\subseteq\mathbb R^4$, kde $\dim(S)=2$. (T.j. nedá sa použiť to, čo sme spomenuli doteraz - pre podpriestory s dimenziou resp. kodimenziou rovnou 1.)
Konkrétne to bol podpriestor $S=[(2,1,0,1),(1,-1,3,-1)]$.
Najprv sme našli bázu $S^\bot$.
Jeden možný postup je využiť to, že $\vec xP=\vec x$ platí pre všetky $\vec x\in S$ a $\vec xP=\vec 0$ platí pre ľubovoľné $\vec x\in S^\bot$. Vďaka tomu vieme nájsť maticu $P$ spôsobom, akým sme sa naučili hľadať maticu zobrazenia, ak poznáme obrazy vektorov z nejakej bázy.
Ako inú možnosť sme vyskúšali nájsť ortonormálnu bázu $S$. (A súčasne sme si pripomenuli dva spôsoby, ktoré sme videli pre hľadanie ortonormálnej bázy: Gramm-Schmidt, sústavy.)
Ak sme mali ortonormálnu bázu, tak z nej sme vedeli vyjadriť maticu projekcie ako $P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2$. Resp. všeobecne, ak by sme mali $\dim(S)=k$ a našli by sme nejakú ortonormálnu bázu $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$, tak máme
$$P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$$
t.j. projekcia na $S$ sa dá takto nasčítať z projekcií na vhodné jednorozmerné podpriestory. (Aj sme si na obrázku ukázali, že takéto niečo by určite nemohlo fungovať, ak by $\vec u_1$, $\vec u_2$ neboli na seba kolmé.)
Pozreli sme sa na jeden možný spôsob, ako zdôvodniť, že stopa matice projekcie sa rovná dimenzii daného podpriestoru: viewtopic.php?t=1781
Determinanty
Úlohy 18 a 20 z 11deter.pdf
Výpočet determinantu $$D_n=
\begin{vmatrix}
x & a & a & \ldots & a \\
a & x & a & \ldots & a \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a & \ldots & a & x & a \\
a & \ldots & a & a & x
\end{vmatrix}$$
Nejaké determinanty matíc $n\times n$, ktoré sú do istej miery podobné, sú napríklad tu: viewtopic.php?t=853.
Nejaké linky, kde sa dá nájsť tento determinant: https://math.stackexchange.com/q/382799, https://math.stackexchange.com/q/86644 a https://math.stackexchange.com/q/84206.
Výpočet determinantu$$D_n=
\begin{vmatrix}
a+b & ab & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & a+b & ab & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & a+b & ab & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & a+b & ab \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & a+b
\end{vmatrix}$$
Aj tu pridám nejakú linku: viewtopic.php?t=577
Ortogonálna projekcia
Opäť pripomeniem, že viacero typov úloh z tejto kapitoly nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?t=993 (Konkrétne sú tam aj nejaké úlohy na nájdenie matice projekcie.)
Pre podpriestory z úloh 3 a 6 v 00skal.pdf sme zrátali maticu kolmej projekcie.
Videli viacero spôsobov, ako vypočítať maticu kolmej projekcie. (Pre istotu zdôrazním, že tu všetko robíme pri štandardnom skalárnom súčine.)
Trochu sme sa rozprávali o tom, že projekcia na jednorozmerný podpriestor sa dá napísať ako $\vec u^T\vec u$, ak $\vec u$ je vektor, ktorý generuje $S$ a má jednotkovú dĺžku.
Potom sme sa pozreli na príklad, kde bol zadaný podpriestor $S\subseteq\mathbb R^4$ taký, že $\dim(S)=3$. Teda v tomto príklade je priestor $S^\bot$ jednorozmerný. Teda by sme veľmi ľahko vedeli nájsť maticu projekcie na $S^\bot$, označme ju $P'$. Maticu projekcie na $S$ by sme potom vedeli dostať ako $P=I-P'$. (Rozmysleli sme si teda súčasne aký je vzťah medzi projekciou na $S$ a projekciou na $S^\bot$.)
Teda vidíme, že prípady $\dim(S)=1$ a $\dim(S^\bot)=n-1$ sú pomerne jednoduché.
Pripomenuli sme si nejaké veci, ktoré vždy platia pre maticu ortogonálnej projekcie pri štandardnom skalárnom súčine.
- $P$ je symetrická
- Platí $P^2=P$
- Stopa tejto matice sa rovná dimenzii podpriestoru, na ktorý premietam.
Úplnú skúšku správnosti by som vedel urobiť tak, že skontrolujem rovnosti $\vec xP=\vec x$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S$ a $\vec xP=\vec 0$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S^\bot$.
Pozreli sme sa ešte na taký príklad $S\subseteq\mathbb R^4$, kde $\dim(S)=2$. (T.j. nedá sa použiť to, čo sme spomenuli doteraz - pre podpriestory s dimenziou resp. kodimenziou rovnou 1.)
Konkrétne to bol podpriestor $S=[(2,1,0,1),(1,-1,3,-1)]$.
Najprv sme našli bázu $S^\bot$.
Jeden možný postup je využiť to, že $\vec xP=\vec x$ platí pre všetky $\vec x\in S$ a $\vec xP=\vec 0$ platí pre ľubovoľné $\vec x\in S^\bot$. Vďaka tomu vieme nájsť maticu $P$ spôsobom, akým sme sa naučili hľadať maticu zobrazenia, ak poznáme obrazy vektorov z nejakej bázy.
Ako inú možnosť sme vyskúšali nájsť ortonormálnu bázu $S$. (A súčasne sme si pripomenuli dva spôsoby, ktoré sme videli pre hľadanie ortonormálnej bázy: Gramm-Schmidt, sústavy.)
Ak sme mali ortonormálnu bázu, tak z nej sme vedeli vyjadriť maticu projekcie ako $P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2$. Resp. všeobecne, ak by sme mali $\dim(S)=k$ a našli by sme nejakú ortonormálnu bázu $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$, tak máme
$$P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$$
t.j. projekcia na $S$ sa dá takto nasčítať z projekcií na vhodné jednorozmerné podpriestory. (Aj sme si na obrázku ukázali, že takéto niečo by určite nemohlo fungovať, ak by $\vec u_1$, $\vec u_2$ neboli na seba kolmé.)
Pozreli sme sa na jeden možný spôsob, ako zdôvodniť, že stopa matice projekcie sa rovná dimenzii daného podpriestoru: viewtopic.php?t=1781
Determinanty
Úlohy 18 a 20 z 11deter.pdf
Výpočet determinantu $$D_n=
\begin{vmatrix}
x & a & a & \ldots & a \\
a & x & a & \ldots & a \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
a & \ldots & a & x & a \\
a & \ldots & a & a & x
\end{vmatrix}$$
Nejaké determinanty matíc $n\times n$, ktoré sú do istej miery podobné, sú napríklad tu: viewtopic.php?t=853.
Nejaké linky, kde sa dá nájsť tento determinant: https://math.stackexchange.com/q/382799, https://math.stackexchange.com/q/86644 a https://math.stackexchange.com/q/84206.
Výpočet determinantu$$D_n=
\begin{vmatrix}
a+b & ab & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
1 & a+b & ab & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & a+b & ab & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & a+b & ab \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 1 & a+b
\end{vmatrix}$$
Aj tu pridám nejakú linku: viewtopic.php?t=577
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
5. týždeň (15.3.)
Nejaké zbierky úloh k afinným veciam sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=1537
Riešené úlohy na fóre z tejto časti semestra: viewtopic.php?t=1509
Robili sme niektoré príklady z 01afin.pdf.$\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$
Afinný súradnicový systém.
Úlohy 3.1 a-d: Tu bolo vidieť ako zadanie afinného súradnicového systému nám vlastne dá afinný izomorfimus (určený tak, že každému bodu priradíme súradnice).
Barycentrické kombinácie
Stále sme sa pozerali na veci z 01afin.pdf.
Pozreli sme sa na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu a nájsť vyjadrenie nejakého bodu v tvare barycentrickej kombinácii. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Na tomto príklade sme videli aj to, že dve ekvivalentné podmienky pre b.s.s. spolu úzko súvisia - pri riešení sústavy nám v stĺpcoch vyšli vektory $\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2},\overrightarrow{A_0A_3},\overrightarrow{A_0A_4}$. Niečo podobné som sa snažil ukázať na tomto príklade: viewtopic.php?p=4730#p4730
Porozprávali sme sa aj trochu o nejakej intuícii súvisiacej s barycentrickými kombináciami. (Barycentrické kombinácie dvoch bodov dávajú úsečku resp. priamku. Barycentrické kombinácie troch bodov nám dajú trojuholník, rovinu - podľa toho, či sa pozeráme iba na nezáporné koeficienty alebo na všetky koeficienty. Koeficienty hovoria niečo o pomer dĺžok resp. o pomere plôch.)
Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu (úloha 3.6): viewtopic.php?t=1243 (A tiež sme si rozmysleli, že to nejako súvisí s barycentrickými súradnicovými sústavami.)
Pozreli sme sa aj na úlohu 3.6: Pre ťažisko trojuholníka máme $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TC}=\vec0$. (Pri tejto úlohe sme pripomenuli aj definíciu barycentrickej kombinácie v ľubovoľnom afinnom priestore.)
A potom sme si rozmysleli aj $$\abs{AX}^2+\abs{BX}^2+\abs{CX}^2=\abs{AT}^2+\abs{BT}^2+\abs{CT}^2+3\abs{XT}^2.$$
Z tejto nerovnosti vidíme, že súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov trojuholníka je minimálny práve v ťažisku trojuholníka. (A pri jej odvodení sme vlastne zopakovali odvodenie kosínovej vety.)
Nejaké zbierky úloh k afinným veciam sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=1537
Riešené úlohy na fóre z tejto časti semestra: viewtopic.php?t=1509
Robili sme niektoré príklady z 01afin.pdf.$\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$
Afinný súradnicový systém.
Úlohy 3.1 a-d: Tu bolo vidieť ako zadanie afinného súradnicového systému nám vlastne dá afinný izomorfimus (určený tak, že každému bodu priradíme súradnice).
Barycentrické kombinácie
Stále sme sa pozerali na veci z 01afin.pdf.
Pozreli sme sa na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu a nájsť vyjadrenie nejakého bodu v tvare barycentrickej kombinácii. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Na tomto príklade sme videli aj to, že dve ekvivalentné podmienky pre b.s.s. spolu úzko súvisia - pri riešení sústavy nám v stĺpcoch vyšli vektory $\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2},\overrightarrow{A_0A_3},\overrightarrow{A_0A_4}$. Niečo podobné som sa snažil ukázať na tomto príklade: viewtopic.php?p=4730#p4730
Porozprávali sme sa aj trochu o nejakej intuícii súvisiacej s barycentrickými kombináciami. (Barycentrické kombinácie dvoch bodov dávajú úsečku resp. priamku. Barycentrické kombinácie troch bodov nám dajú trojuholník, rovinu - podľa toho, či sa pozeráme iba na nezáporné koeficienty alebo na všetky koeficienty. Koeficienty hovoria niečo o pomer dĺžok resp. o pomere plôch.)
Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu (úloha 3.6): viewtopic.php?t=1243 (A tiež sme si rozmysleli, že to nejako súvisí s barycentrickými súradnicovými sústavami.)
Pozreli sme sa aj na úlohu 3.6: Pre ťažisko trojuholníka máme $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TC}=\vec0$. (Pri tejto úlohe sme pripomenuli aj definíciu barycentrickej kombinácie v ľubovoľnom afinnom priestore.)
A potom sme si rozmysleli aj $$\abs{AX}^2+\abs{BX}^2+\abs{CX}^2=\abs{AT}^2+\abs{BT}^2+\abs{CT}^2+3\abs{XT}^2.$$
Z tejto nerovnosti vidíme, že súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov trojuholníka je minimálny práve v ťažisku trojuholníka. (A pri jej odvodení sme vlastne zopakovali odvodenie kosínovej vety.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
6. týždeň (22.3.)$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
Počítali sme príklady z 02vzaj.pdf týkajúce sa vzájomných polôh. Pritom sme vlastne súčasne často používali prechod medzi všeobecným a parametrickým vyjadrením.
Na začiatku sme pripomenuli definície rovnobežných, rôznobežných a mimobežných afinných priestorov. V definíciách vystupujú nejaké podmienky pre bodovú a vektorový zložku afinného priestoru, tak sme sa rozprávali chvíľu aj o nich.
Prešli sme úlohy 2.1a, 2.1b. (Zistenie vzájomnej polohy.)
A nejaký čas sme strávili aj s úlohou 2.8 - nájsť najmenší afinný podpriestor obsahujúci dve zadané roviny v $\mathbb R^5$.
Niečo k vzájomným polohám sa dá nájsť aj na fóre - opäť pridám linku na topic, kde je pozbieraných viacero vyriešených úloh z tejto časti: viewtopic.php?t=1509
Nejaké dve videá z vlani - sú tam prepočítané úlohy 2.8 a 1.2d - sa dajú nájsť na Google Drive aj a v MS Stream
https://web.microsoftstream.com/video/f ... f1d76718be
https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 2b1a206d98
Budúci týždeň je vo štvrtok na povinnom cviku písomka - dohodli sme sa, že ak budete mať nejaké veci, ku ktorým sa pred písomkou ešte treba vrátiť, tak sa môžeme venovať tým. (A ak nebudete mať nachystané nič, k čomu by sa bolo treba vrátiť, tak budeme pokračovať v preberaní ďalšej látky.)
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
Počítali sme príklady z 02vzaj.pdf týkajúce sa vzájomných polôh. Pritom sme vlastne súčasne často používali prechod medzi všeobecným a parametrickým vyjadrením.
Na začiatku sme pripomenuli definície rovnobežných, rôznobežných a mimobežných afinných priestorov. V definíciách vystupujú nejaké podmienky pre bodovú a vektorový zložku afinného priestoru, tak sme sa rozprávali chvíľu aj o nich.
Spoiler:
A nejaký čas sme strávili aj s úlohou 2.8 - nájsť najmenší afinný podpriestor obsahujúci dve zadané roviny v $\mathbb R^5$.
Niečo k vzájomným polohám sa dá nájsť aj na fóre - opäť pridám linku na topic, kde je pozbieraných viacero vyriešených úloh z tejto časti: viewtopic.php?t=1509
Nejaké dve videá z vlani - sú tam prepočítané úlohy 2.8 a 1.2d - sa dajú nájsť na Google Drive aj a v MS Stream
https://web.microsoftstream.com/video/f ... f1d76718be
https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 2b1a206d98
Budúci týždeň je vo štvrtok na povinnom cviku písomka - dohodli sme sa, že ak budete mať nejaké veci, ku ktorým sa pred písomkou ešte treba vrátiť, tak sa môžeme venovať tým. (A ak nebudete mať nachystané nič, k čomu by sa bolo treba vrátiť, tak budeme pokračovať v preberaní ďalšej látky.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
7. týždeň (29.3.)
Dohodli sme sa, že budúcu stredu sa dajú prezentovať PÚ. (Keďže vlastne sa teraz dvakrát na povinnom cviku nedá prezentovať - tento týždeň je písomka a budúci týždeň je rektorské voľno pred veľkonočnými sviatkami.
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf
Pozreli sme sa najprv na prvé dve úlohy z 04vzdial.pdf. To sú výsledky, ktoré sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností.
Opakovanie pred písomkou.
Zvyšok cvičenia sme venovali veciam, na ktoré ste sa chceli opýtať vy ešte pred zajtrajšou písomkou.
Konkrétne sme sa rozprávali napríklad o takýchto veciach:
Dohodli sme sa, že budúcu stredu sa dajú prezentovať PÚ. (Keďže vlastne sa teraz dvakrát na povinnom cviku nedá prezentovať - tento týždeň je písomka a budúci týždeň je rektorské voľno pred veľkonočnými sviatkami.
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf
Pozreli sme sa najprv na prvé dve úlohy z 04vzdial.pdf. To sú výsledky, ktoré sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností.
- Namiesto rátania vzdialenosti môžeme jednoducho vyrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{A_1A_2}$ do $V^\bot$, kde $V=V_1+V_2$. ($A_1$ je nejaký bod prvého podpriestoru, $V_1$ jeho vektorová zložka; podobne $A_2$, $V_2$ pre druhý podpriestor.)
- Veľmi podobná vec je v úlohe 1.2 - hľadanie vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov môžeme previesť na hľadanie vzdialenosti dvoch rovnobežných podpriestorov resp na hľadanie vzdialenosti bodu od podpriestoru. Konkrétne ide o vzdialenosť bodu $A_1$ od podpriestoru $A_2+V$ resp. vzdialenosť rovnobežných podpriestorov $A_1+V$ a $A_2+V$.
Opakovanie pred písomkou.
Zvyšok cvičenia sme venovali veciam, na ktoré ste sa chceli opýtať vy ešte pred zajtrajšou písomkou.
Konkrétne sme sa rozprávali napríklad o takýchto veciach:
- Hľadanie matice projekcie na zadaný podpriestor - takéto úlohy sú napríklad tu: viewtopic.php?t=1659 a viewtopic.php?t=1414
- Hľadanie ortogonálnej a ortonormálnej bázy - to sme zopakovali pri výpočte matice projekcie; takéto príklady sú napríklad tu: viewtopic.php?t=604 a viewtopic.php?t=852
- PU5/7 - vyjadrenie obrazu vektora v afinnom zobrazení $(f,\varphi)$ ak sú zadané obrazy bodov. Zo zadaných bodov vieme dostať obrazy vektorov a z toho maticu zobrazenia $\varphi$ (a teda aj obraz vektora). Výpočet matice zobrazenia pri takomto type zadania môžete vidieť napríklad tu: viewtopic.php?t=626 a viewtopic.php?t=862
- Barycentrický súradnicový systém a barycentrické kombinácie. T.j. niečo také, ako je napríklad tu: viewtopic.php?t=1081
- Ako dostať zo všeobecného vyjadrenia parametrické. (Vlastne to je iba vyjadrenie množiny riešení nehomogénneho systému. Takú vec na akú ste sa pýtali - že si vezmem nejaké body z nich vyjadrím parametrické vyjadrenie napríklad ako $A+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ - je v poriadku, ak nejako viem nájsť dostatočný počet bodov.)
- Výpočet determinantu a poradie úprav. Ak máme riadky $\vec\alpha_1$ a $\vec\alpha_2$, tak determinant sa nezmení ak k prvému riadku pripočítame $c$-násobok iného riadku. Ale ak by sme výsledok súčtu s $c$-násobkom dali do nesprávneho riadku, tak nám vyjde niečo iné. (T.j. treba dať pozor na to, kam dáme výsledok takejto kombinácie.)
\begin{align*}
\det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix} &= \det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1+c\vec\alpha_2\\\vec\alpha_2\end{pmatrix}\\
c\det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix} &= \det\begin{pmatrix}c\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}c\vec\alpha_1+\vec\alpha_2\\\vec\alpha_2\end{pmatrix} \\
c\det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix} &= \det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\c\vec\alpha_2\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_1+c\vec\alpha_2\end{pmatrix}
\end{align*}
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
8. týždeň (5.4.)
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf
Konkrétne to boli tieto príklady:
Keďže som spomenul, že aj pre viac premenných sa extrémy dajú hľadať pomocou derivácií, pridám aj takúto linku: viewtopic.php?t=1428
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf
Konkrétne to boli tieto príklady:
- Úloha 1.3a - vzdialenosť bodu od priamky. Tu sme si povedali aj niečo o tom, že vlastne túto vzdialenosť vieme nájsť ako minimum kvadratickej funkcie. (A všeobecne sa na výpočet vzdialenosti dá pozerať ako na úlohu nájsť minimum nejakej funkcie - aj keď to bude zvyčajne zložitejšie ako v tomto prípade, kde sme mali iba jeden parameter, t.j. jednu premennú.) Vzdialenosť bodu od priamky je vypočítaná aj tu: viewtopic.php?t=623 (Aj keď tam je zadaný iný bod a iný priamka ako tie, s ktorými sme počítali my.)
- Úloha 1.10a - vzdialenosť priamky a roviny. (Mimobežné - previedli sme to na úlohu hľadať vzdialenosť bodu od nadroviny.) Riešenie sa dá nájsť aj tu na fóre: viewtopic.php?t=633
- Úloha 1.4a - vzdialenosť dvoch priamok. (To sme vlastne previedli na hľadanie kolmej projekcie vektora.) viewtopic.php?t=1961
Keďže som spomenul, že aj pre viac premenných sa extrémy dajú hľadať pomocou derivácií, pridám aj takúto linku: viewtopic.php?t=1428
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
9. týždeň (12.4.)
Metóda najmenších štvorcov
Niekoľko príkladov z tejto témy je v súbore 05lsq.pdf.
Pozreli sme sa na dva typy úloh týkajúce sa metódy najmenších štvorcov - približné riešenie sústavy, aproximácia lineárnou funkciou.
Robil som presne tie úlohy, ktoré sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1429 a viewtopic.php?t=1433
Aj keď viac ako o konkrétnych výpočtoch sme sa rozprávali o tom, čo vlastne rátame a prečo to funguje.
Ukázali sme si aj taký výpočet, kde sme previedli hľadanie približného riešenia sústavy $AX=B$ na novú sústavu tvaru $A^TAX=A^TB$. (Na jednej z liniek je odvodené aj to, že tú istú sústavu vieme dostať hľadaním minima cez parciálne derivácie.)
Stručne som hovoril niečo aj o hľadaní extrémov cez parciálne derivácie: viewtopic.php?t=1428
Toto je vec, ktorú na matematickej analýze budete mať v druhom ročníku - ale aspoň nutná podmienka (nulové parciálne derivácie) je asi dosť jednoduchá; snáď sa jej dá rozumieť aj s tým, čo viete teraz. (Spomeniem, že koncom semestra sa naučíme niečo o kladne definitných kvadratických formách - to je niečo, čo by súviselo s postačujúcou podmienkou pre extrémy viac premenných.)
Podobnosť
Pozreli sme sa aj na niečo z 06fibon.pdf - tieto úlohy sa nejako týkajú podobnosti. Keďže vlastne s kapitolou o podobnosti ste na prednáške iba začali, sú tu vybraté veci, na ktoré vlastne netreba vedieť skoro nič. (Ale určite keď budeme vedieť viac o podobnosti matíc, vlastných hodnotách, vlastných vektoroch, tak budeme vidieť aj súvis s niektorým vecami, ktoré sme si ukázali tu.)
Konkrétne sme sa pozreli na úlohu 2.1 (a potom úloha 2.2 ukazuje súvis s maticami) - použili sme rekurencie ako ukážku problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
*****
K úlohám z tejto časti som sa nestihol dostať - ale ak by sa niekto len tak zo záujmu rozhodol pozrieť na veci týkajúce sa Fibonacciho postupnosti, tak pridám aj takúto linku: viewtopic.php?t=640
Teraz budeme často potrebovať pri riešení nejakých úloh nájsť korene charakteristického polynómu - často to bude polynóm vyššieho stupňa než druhého. Tu sú nejaké veci, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
Metóda najmenších štvorcov
Niekoľko príkladov z tejto témy je v súbore 05lsq.pdf.
Pozreli sme sa na dva typy úloh týkajúce sa metódy najmenších štvorcov - približné riešenie sústavy, aproximácia lineárnou funkciou.
Robil som presne tie úlohy, ktoré sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1429 a viewtopic.php?t=1433
Aj keď viac ako o konkrétnych výpočtoch sme sa rozprávali o tom, čo vlastne rátame a prečo to funguje.
Ukázali sme si aj taký výpočet, kde sme previedli hľadanie približného riešenia sústavy $AX=B$ na novú sústavu tvaru $A^TAX=A^TB$. (Na jednej z liniek je odvodené aj to, že tú istú sústavu vieme dostať hľadaním minima cez parciálne derivácie.)
Stručne som hovoril niečo aj o hľadaní extrémov cez parciálne derivácie: viewtopic.php?t=1428
Toto je vec, ktorú na matematickej analýze budete mať v druhom ročníku - ale aspoň nutná podmienka (nulové parciálne derivácie) je asi dosť jednoduchá; snáď sa jej dá rozumieť aj s tým, čo viete teraz. (Spomeniem, že koncom semestra sa naučíme niečo o kladne definitných kvadratických formách - to je niečo, čo by súviselo s postačujúcou podmienkou pre extrémy viac premenných.)
Podobnosť
Pozreli sme sa aj na niečo z 06fibon.pdf - tieto úlohy sa nejako týkajú podobnosti. Keďže vlastne s kapitolou o podobnosti ste na prednáške iba začali, sú tu vybraté veci, na ktoré vlastne netreba vedieť skoro nič. (Ale určite keď budeme vedieť viac o podobnosti matíc, vlastných hodnotách, vlastných vektoroch, tak budeme vidieť aj súvis s niektorým vecami, ktoré sme si ukázali tu.)
Konkrétne sme sa pozreli na úlohu 2.1 (a potom úloha 2.2 ukazuje súvis s maticami) - použili sme rekurencie ako ukážku problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
*****
K úlohám z tejto časti som sa nestihol dostať - ale ak by sa niekto len tak zo záujmu rozhodol pozrieť na veci týkajúce sa Fibonacciho postupnosti, tak pridám aj takúto linku: viewtopic.php?t=640
Teraz budeme často potrebovať pri riešení nejakých úloh nájsť korene charakteristického polynómu - často to bude polynóm vyššieho stupňa než druhého. Tu sú nejaké veci, ktoré môžu byť pri takýchto výpočtoch užitočné: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
-
Martin Sleziak
- Posts: 5513
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2022/23
10. týždeň:
19.4. je dekanské voľno
V tomto týždni nebudem zadávať ani novú úlohu na odovzdávanie.
Pridám sem ešte linku k topicu, kde je niečo k PÚ 8/4 - vzdialenosť roviny a priamky, ktoré sú rovnobežné: viewtopic.php?t=1051
(Túto linku som sem chcel dať až potom, keď už bude táto sada odprezentovaná.)
19.4. je dekanské voľno
V tomto týždni nebudem zadávať ani novú úlohu na odovzdávanie.
Pridám sem ešte linku k topicu, kde je niečo k PÚ 8/4 - vzdialenosť roviny a priamky, ktoré sú rovnobežné: viewtopic.php?t=1051
(Túto linku som sem chcel dať až potom, keď už bude táto sada odprezentovaná.)