msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1709
viewtopic.php?t=1565
viewtopic.php?t=1459
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

1. týždeň: (20.9.)
Riešili sme príklady z 00opak.pdf.

Matematická indukcia
Povedali sme si stručne, čo znamená dôkaz matematickou indukciou. Dokázali sme indukciou nerovnosť $4^n>3^n+2^n$ pre všetky prirodzené čísla $n\ge 2$. (V tejto podobe a aj pre ekvivalentnú nerovnosť $2^n>\left(\frac32\right)^n+1$.)
Pri dôkaze nerovnosti $\sum\limits_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2-\frac1n$ sme sa pozreli aj na súčet $\sum\limits_{k=2}^n \frac1{k(k-1)}$, ktorý je príkladom teleskopickej sumy.
Okrem iného sme si rozmysleli aj to, že ak sme dokazovanú nerovnosť upravili na inú nerovnosť (ktorá už evidentne platí), tak si bolo treba rozmyslieť aj to, či naše úpravy boli ekvivalentné: viewtopic.php?t=1164

Úpravy výrazov.
Pozreli sme sa na to, ako sa dajú zjednodušiť výrazy $\frac1{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ a $\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$.
Keď už sme takéto číslo mali na tabuli, pozreli sme sa na nejaké možnosti ako zdôvodniť, že $\sqrt2+\sqrt3$ je iracionálne. (Pripomenuli sme, že zo strednej školy viete, že napríklad $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\notin\mathbb Q$; ale neopakovali sme, ako ste to zdôvodnili.)
Pridám aj takúto linku: Prove that $\sqrt 2 + \sqrt 3$ is irrational.

Ešte raz indukcia
Na stredajšom cviku ste dokazovali, že $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$. Pridám k tejto úlohe nejaké linky:
* Squared triangular number na Wikipédii
* Proving $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ using induction na math.SE
* Proving Nicomachus's theorem without induction na math.SE

2. týždeň (28.9.):
Rátali sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=x+1$ resp. $f(x)=\sin x$.
Videli sme, že v tomto prípade $g\circ f\ne f\circ g$. (Skladanie zobrazení nie je komutatívne.)
Pri tejto príležitostí sme skúsili načrtnúť grafy funkcií $\sin x^2$ a $\sin^2x$. Pripomenuli sme si súčasne vzorce pre $\cos 2x$ a $\sin2x$ a rozmysleli sme si, že $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Prešli sme úlohy 3.1 a 3.2 t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A našli sme aj kontrapríklad ukazujúci, že opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí.
Potom sme sa pozreli na "krátenie" surjekciou resp. injekciou, to sú úlohy 3.6 a 3.7: viewtopic.php?t=1360 (Na cvičení sme z týchto dvoch úloh stihli jednu.)

3. týždeň (4.10.):
Binárne operácie a grupy
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Úloha 1.2.: Ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy.
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5. (A rozmysleli sme si, čo to hovorí o tabuľke grupovej operácie.)
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to z definície - t.j. overili sme injektívnosť a surjektívnosť. Ako inú možnosť som spomenul overenie, že $f_{a^{-1}}$ je inverzné zobrazenie k $f_a$.) Na tú istú úlohu sa dá pozerať aj tak, že sa na jeden riadok v tabuľke grupovej operácie pozerám ako na zobrazenie. Toto je jedna z úloh, ktoré sú vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=517

K úlohe 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine: viewtopic.php?t=727
(Toto bola jedna z prednáškových úloh na stredajšom cviku.)

4. týždeň (11.10.):
Podgrupy a homomorfizmy. Rátali sme úlohy z 03podgrp.pdf.

Zopakovali sme definíciu a aj kritérium podgrupy
Ukázali sme, že ak $H$ je konečná podmnožina $G$, pričom $H\ne\emptyset$ a $H$ je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu, tak už $H$ musí byť podgrupa. (Inak povedané, pre konečnú množinu $H$ môžeme v kritériu podgrupy vynechať uzavretosť na inverzný prvok. Je to úloha 1.4.6(4) v LAG1.)
Videli sme, že bez predpokladu o konečnosti takéto tvrdenie neplatí.

Pre viacero dvojíc grúp sme sa pozreli na to, či sú izomorfné resp. či vieme nájsť všetky podrgupy-
* Úloha 1.4 a 2.5: Pre $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.
* Úloha 2.2: Grupy $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ sú izomorfné.
* Nájsť všetky podgrupy $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$ a zdôvodniť $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3\ncong\mathbb Z_9$.
* Zdôvodniť, že $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_5\cong \mathbb Z_{10}$. (Tu už sme nerobili časť o nájdení všetkých podgrúp.)
Riešili sme tieto úlohy tak, že sme využívali fakt, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. (Toto je Lagrangeova veta, je dôkaz uvidíme neskôr - zrejme by ste sa k nemu mohli dostať už budúci týždeň.)
Keďže sa pri tomto type úloh nejako prirodzene vyskytli, spomenul som pojmy cyklická grupa a generátor.
Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
Pojem izomorfizmu vlastne znamená, že dve grupy sú "v podstate rovnaké". Niečo k tomu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=495

Prednáškové úlohy:
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU3/bonus: viewtopic.php?t=726
Úloha 1.2.9(4) - "komplexné" násobenie dvojíc

5. týždeň (18.10.):
Relácie ekvivalencie.
Pozreli sme sa na niektoré relácie z 04faktor.pdf a overili, či sú to relácie ekvivalencie. (A tiež sme sa pozreli na to, ako vyzerajú triedy ekvivalencie a zodpovedajúci rozklad.)
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na častí a, b, c, d, f, g, h, j.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb Z\times\mathbb Z$, $|a-b|\le 1$ na $\mathbb R$, $x^2=y^2$ na $\mathbb R$, $3\mid x+2y$ na $\mathbb Z$. Jeden z príkladov boli podmnožiny $\mathbb N$ také, že symetrická diferencia $A\triangle B$ je konečná.)

6. týždeň (25.10.):
Faktorové grupy.
Pozreli sme sa na viaceré príklady z: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
A aj to, ako súvisí zvolený homomorfizmus s jednotlivými triedami. (Vždy zobrazujeme celú triedu na jeden prvok. To je vlastne presne vec, ktorá sa vyskytne v ďalšej úlohe.)
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,3t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.
* Izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Ak niektorí z vás neviete toho veľa o komplexných číslach, môžete si rozmyslieť light verziu tohto príkladu: $\mathbb R/\{\pm1\}\cong\mathbb R^+$.)

Keďže teraz nejaké utorkové cviká odpadnú, možno sa nestihneme dostať k príkladom na polia. (T.j. z tej sady úloh, ktorú som rozdával dnes. Budete ale niečo o poliach vidieť v rámci prednáškových úloh na cvikách k 1-MAT-120.)
Ale určite sa budeme chcieť pozrieť prinajmenšom na Euklidov algoritmus. Kto by bol zvedavý už teraz, môže sa pozrieť sem: viewtopic.php?t=298

A tiež som sľúbil, že aj v týždňoch keď cviko nebude, tak pribudne nejaká úloha. (Takže sa dajú zbierať body za riešenie úloh.)

7. týždeň (1.11.): Utorkové cvičenie odpadlo - štátny sviatok.

8. týždeň (8.11.): Na utorkovom cviku sa prezentovali PÚ. (Na stredajšom bola písomka.)

9. týždeň (15.11.):
Euklidov algoritmus.
Ukázali sme si na niekoľkých príkladoch rozšírený Euklidov algoritmus. Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou neho dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Niečo o Euklidovom algoritme sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298

Podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,c,d,f z úlohy 2.1.
Pri viacerých príkladoch sme sa snažili aj kresliť obrázky, aby sme mali aspoň v $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ nejakú geometrickú intuíciu o tom, ako vyzerajú podpriestory.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.
Ukázali sme si, že ako ďalšiu ekvivalentnú podmienku pre podpriestory môžeme pridať: $S\ne\emptyset$ a $(\forall c\in F)(\forall \vec x,\vec y\in S) c\vec x+\vec y\in S$.
Videli sme, že $S\cup T$ je podpriestor práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Sústavy.
Vlastne sme len prešli to, ako by sme po úprave matice sústavy vyčítali z výslednej sústavy riešenia.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522

10. týždeň (22.11.)
Závislosť nezávislosť, báza, riadková ekvivalencia.
Riešili sme niektoré úlohy z 08baza.pdf a 09rtm.pdf.
Ako zistiť či dané vektory tvoria bázu resp. či sú lineárne nezávislé (úloha 2.1 v 08baza). Videli sme riešenie cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Ako zistiť či vektor patrí do lineárneho obalu daných vektorov (úloha 4 v 09rtm). Videli sme riešenie cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Pozreli sme sa na lineárnu nezávislosť funkcií $\mathbb R\to\mathbb R$ (úloha 1.5 v 08baza).
Využili sme tento príklad aj na to, že sme si pripomenuli vzorec pre $\cos2\alpha$ a $\sin2\alpha$. (A tiež to, že sa dá odvodiť pomocou komplexných čísel.)
Pri príkladoch s polynómami sme využili aj to, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové.
Niečo viac o tom sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1349

Pridám ešte aj linku kde je vymenovaných viacero vecí, ktoré sa dajú riešiť pomocou riadkových úprav resp. pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540 (Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia.)

11. týždeň (29.11.)
Počítali sme príklady z 09rtm.pdf a 10lzob.pdf.

Súčin matíc
Zopakovali sme, ako sa počíta súčin matíc. Potom sme urobili úlohy 2.1 a 2.2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.) T.j. násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)

Matica zobrazenia.
Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úloha 3.2. Nejaké príklady, kde bolo úlohou nájsť maticu zobrazenia, sú vyriešené tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
viewtopic.php?t=1619
Presne ten príklad, ktorý sme riešili na dnešnom cvičení, sa dá nájsť kompletne vyriešený tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/alg/text/alg.pdf (úloha 5.3.1).
Pozreli sme sa aj na úlohu 3.4, kde bolo treba vypočítať počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení. (Prešli sme iba časť o všetkých zobrazenia a o injekciách.)
Povedali sme si, že ak existuje injektívne lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$, tak musí platiť $\dim(V)\le\dim(W)$. Pre surjektívne lineárne zobrazenie zasa máme $\dim(V)\ge\dim(W)$. (Súvisí to s tým, že obrazy bázových vektorov sú v prípade injektívneho zobrazenia lineárne nezávislé a v prípade surjektívneho zobrazenie generujú koobor.)

Doplnenie na bázu. Pozreli sme sa na to, ako doplniť dané vektory na bázu celého priestoru $(\mathbb Z_5)^4$ (úloha 2 v 09rtm). Pripomeniem, že doplniť vektory na bázu sa dá (v konečno-rozmernom priestore) vtedy, ak pracujeme s lineárne nezávislými vektormi. (Toto sa dá odvodiť zo Steinitzovej vety.)

Hodnosť s parametrom. Pozreli sme sa na výpočet hodnosti matice v závislosti od parametra- aj keď príklad takého typu sme stihli začať a povedať si niečo k riešeniu, ale nedokončili sme ho. (Pri výpočte hodnosti s parametrom môže pomôcť aj to, že transponovaná matica má rovnakú hodnosť ako pôvodná matica, t.j. $h(A)=h(A^T)$; dôkaz tohto faktu bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190