msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1879
viewtopic.php?t=1709
viewtopic.php?t=1565
viewtopic.php?t=1459
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

1. týždeň (20.9.):
Riešili sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=x+1$ resp. $f(x)=\sin x$.
Videli sme, že v tomto prípade $g\circ f\ne f\circ g$. (Skladanie zobrazení nie je komutatívne.)
Pri tejto príležitostí sme skúsili načrtnúť grafy funkcií $\sin x^2$ a $\sin^2x$. Pripomenuli sme si súčasne vzorce pre $\cos 2x$ a $\sin2x$ a rozmysleli sme si, že $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Prešli sme úlohy 3.1 a 3.2 t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
Pre jedno z týchto tvrdení sme našli aj kontrapríklad ukazujúci, že opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí.
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)

2. týždeň (27.9.):
Binárne operácie a grupy
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Úloha 1.2.: Ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Rozmysleli sme si vlastnosti operácie $x*y=xy^2$ na množine $\mathbb R$. (Má neutrálny prvok, nie je asociatívna, nie je komutatívna. Toto je vlastne úloha 1.2.9(1) z LAG.)
Aj pre operáciu $x*y=\frac{x+y}2$ sme si rozmysleli, že nie je asociatívna.
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy.
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495 (Na cviku som iba spomenul, že v nejakom zmysle sú tieto dve grupy "v podstate rovnaké" ako $(\mathbb R,+)$ resp. $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$; čo sa myslí pod "v podstate rovnaké" bude jasnejšie, keď sa naučíme niečo o pojme izomorfizmus grúp.)
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5. (Nestihol som povedať, čo to hovorí o tabuľke grupovej operácie. Ak nezabudnem, tak k tomu sa ešte vrátim nabudúce.)

K úlohe 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine: viewtopic.php?t=727
(Toto bola jedna z prednáškových úloh na povinnom cviku.)

3. týždeň (4.10.):
Vrátili sme sa k niektorým úlohám z 02binop.pdf.
Úloha 2.20: Doplniť tabuľku binárnej operácie tak, aby sme dostali grupu. Pri overovaní, či to je grupa, sme sa opäť pozerali na situáciu, keď dve binárne operácie resp. tabuľky sú "v podstate rovnaké" - zanedlho bude na prednáške pojem izomorfizmu, ktorý takéto niečo formalizuje. Nejaký pokec k tomu je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=495
Prácu s tabuľkami sme využili aj na to, že sme si povedali ako na tabuľke vidíme: komutatívnosť, zákony o krátení, neutrálny prvok, inverzný prvok.
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to z definície - t.j. overili sme injektívnosť a surjektívnosť. Ako inú možnosť som spomenul overenie, že $f_{a^{-1}}$ je inverzné zobrazenie k $f_a$.) Na tú istú úlohu sa dá pozerať aj tak, že sa na jeden riadok v tabuľke grupovej operácie pozerám ako na zobrazenie. Toto je jedna z úloh, ktoré sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1469 a viewtopic.php?t=517
Úloha 2.23: Ak konečná komutatívna grupa má $n$ prvkov, tak platí $a^n=e$. (Toto tvrdenie platí aj bez predpokladu komutatívnosti - ale pre komutatívne grupy vieme urobiť o čosi jednoduchší dôkaz.) Niečo viac k tejto úlohe je tu: viewtopic.php?t=2005
V papieroch, ktoré som rozdal vytlačené, chýbal v zadaní predpoklad o komutatívnosti - už je to opravené aspoň na stránke.
Spomenul som aj takúto variáciu tejto úlohy - kde ako predpoklady máme, že $G$ je konečná množina, $*$ je binárna operácia, ktorá je komutatívna, asociatívna a platia pre ňu zákony o krátení.

Prednáškové úlohy:
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU3/bonus: viewtopic.php?t=726
Úloha 1.2.9(4) - "komplexné" násobenie dvojíc

4. týždeň (11.10.):
Podgrupy, homomorfizmy, izomorfizmy.
Venovali sme sa úlohám z tejto sady: 03podgrp.pdf
Zopakovali sme definíciu a aj kritérium podgrupy
Ukázali sme, že ak $H$ je konečná podmnožina $G$, pričom $H\ne\emptyset$ a $H$ je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu, tak už $H$ musí byť podgrupa. (Inak povedané, pre konečnú množinu $H$ môžeme v kritériu podgrupy vynechať uzavretosť na inverzný prvok. Je to úloha 1.4.6(4) v LAG1.)
Videli sme, že bez predpokladu o konečnosti takéto tvrdenie neplatí.

Pre viacero dvojíc grúp sme sa pozreli na to, či sú izomorfné resp. či vieme nájsť všetky podgrupy-
* Úloha 1.4 a 2.5: Pre $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.
* Úloha 2.2: Grupy $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ sú izomorfné.
* Grupy $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_3$ a $\mathbb Z_6$ sú izomorfné.

Pri viacerých úlohách sme využívali to, že pre homomorfizmus platí $f(x^n)=f(x)^n$. (A aspoň trochu sme naznačili, ako sa takéto niečo dokáže indukciou.)

Keďže sa pri tomto type úloh nejako prirodzene vyskytli, aspoň okrajovo som spomenul pojem generátor. (S tým súvisí aj pojem cyklická grupa - ten som nespomínal.)
Úloha nájsť všetky podgrupy je pre $\mathbb Z_{12}$ vyriešená aj tu fóre: viewtopic.php?t=770

Na konci sme stihli jednu implikáciu z úlohy 2.8: Zobrazenie $x\mapsto x^{-1}$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ p.v.k. $G$ je komutatívna.

5. týždeň (18.10.):
Relácie ekvivalencie.
Venovali sme sa úlohám o reláciách ekvivalencie z 04faktor.pdf.
Pozreli sme sa na niektoré relácie z 04faktor.pdf a overili, či sú to relácie ekvivalencie. (A tiež sme sa pozreli na to, ako vyzerajú triedy ekvivalencie a zodpovedajúci rozklad.)
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na časti a, b, c, d, f, g, h, j.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb Z\times\mathbb Z$. Jeden z príkladov boli podmnožiny $\mathbb N$ také, že symetrická diferencia $A\triangle B$ je konečná.) Na konci sme zopakovali nejaké veci týkajúce sa faktorových grúp - tým sa plánujeme venovať nabudúce.
(Okrem iného sme sa pozreli na to, že pre každé $x\in G$ má jeho trieda ekvivalencie tvar $[x]=\{x+h; h\in H\}$. Teda napríklad trieda neutrálneho prvku je rovná podgrupe $H$.)
Chvíľu sme sa rozprávali aj o tom, čo znamená, že binárna operácia (alebo funkcia) je dobre definovaná. K tomu pridám takúto linku: viewtopic.php?t=1293

Ako pokus sme skúsili dnešné cviko aj nahrať - video nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

6. týždeň (25.10.):
Dohodli sme sa, že cviká budeme nahrávať aj naďalej. (A ja sa budem pri nastavení kamery snažiť dať pozor, nech to zoberie celú tabuľu.)
Stále platia veci, ktoré som hovoril:
* Tieto veci budú iba v MS Teams, takže ich vidíte iba vy.
* Ak by ste sa časom rozhodli, že radšej nechcete nahrávky z cvika, tak sa stačí ozvať a dohodneme sa.
* Ak nebudú nejaké problémy, tak nahrávku dám do Teams večer po cviku alebo ráno ďalší deň.

Faktorové grupy.
Vrátili sme sa k prednáškovým úlohám, ktoré neboli na povinnom cviku.
Z nich najdôležitejšia je asi PU5/6, kde sme dokázali, že medzi ľubovoľnými dvoma triedami v rozklade $G$ podľa podgrupy $H$ existuje bijekcia.
Z toho dostaneme, že počet prvkov ľubovoľnej podgrupy je deliteľ počtu prvkov celej grupy - to je Lagrangeova veta. (Táto veta platí aj pre nekomutatívne grupy.)
Toto je aj vo videu z prednášky 10 v čase 9:30.

Pozreli sme sa na viaceré príklady z: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z_4/\{0,2\} \cong \mathbb Z_4$; toto bola tiež jedna z prednáškových úloh.
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.

Pozreli sme sa aj na to, ako vyzerajú triedy v $G/\operatorname{Ker}f$; sú to presne vzory jednoprvkových podmnožín $\operatorname{Im}f$: viewtopic.php?t=1917
(Takúto vec sme videli predtým v príkladoch, ktoré sme robili; konkrétne keď sme sa snažili použiť vetu o izomorfizme. V jednom sa každá zvyšková trieda zobrazila práve na jeden z prvkov 0,1,2,3; v druhom sa každá z rovnobežných priamok zobrazil na jedno reálne číslo.)

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

7. týždeň (1.11.):
Výuka nebola - štátny sviatok.

8. týždeň (8.11.):
Euklidov algoritmus.
Ukázali sme si na jednom príklade rozšírený Euklidov algoritmus. Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou neho dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Niečo o Euklidovom algoritme sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298

Okruhy a polia.
Na utorkovom bola písomka, takže na stredajšom cviku sa prezentovali PÚ. Konkrétne sme sa venovali prednáškovým úlohám, ktoré sa týkajú okruhov a polí.
Konkrétne sme spravili PU6/5 (počítanie v $\mathbb Z_5$) a PU6/6 (existencia multiplikatívneho inverzu a delitele jednotky).
Urobili sme úlohu PU7/1, kde sme videli, že grupa $(\mathbb Z_7^*,\cdot)$ je izomorfná s grupou $(\mathbb Z_6,+)$.
Na konci sme sa pozreli na úlohu PU7/2. Táto úloha a aj viacero úloh z 05okruhy.pdf je úloha overiť, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole.
Síce sme stihli iba príklad s množinou $\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$, ale napíšem stručne niečo aj k ďalším úlohám.
Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti máme zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne tu vyjde, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v prvej úlohe sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne by sa dalo ukázať, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu môže byť užitočné všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by nám pomohlo aj pri overovaní, že $F_3$ je pole. (Túto úlohu sme nedoriešili iba naznačili ako by sa to robilo - uzavreli sme ju s tým, že ďalej by to šlo už dosť podobne ako v prípade poľa $F_1$.)

Na fóre sa dá nájsť niečo k prvej z týchto troch úloh:
viewtopic.php?t=84
viewtopic.php?t=505
viewtopic.php?t=521

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

Pridám sem aj linku na jednu úlohu takého typu, ako bola na písomke z povinného cvika: viewtopic.php?t=1473

9. týždeň (15.11.):
Podpriestory.
Pozreli sme sa na úlohy 2.3 a 2.4 z 06vpry.pdf.
T.j. fakt, že:
* Ak $S$, $T$ sú podpriestory: $S\cup T$ je podpriestor p.v.k. $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.
* Ak $S_1$, $S_2$, $S_3$ sú podpriestory $S_1\subseteq S_2\cup S_3$ p.v.k. $S_1\subseteq S_2$ alebo $S_1\subseteq S_3$.

Sústavy.
Venovali sme sa sústavám.
Najprv sme sa vrátili k PU8/7 čiže k úlohe 2.2.9(7) z bielej knihy.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522
Upozornil som aj na to, že skúška správnosti dosadením je v istom zmysle vlastne iba "polovičná" skúška. Zistili sme, že naozaj všetky riešenie, ktoré sme dostali, vyhovujú pôvodnej sústave - ale stále sa môže stať, že sústava má aj nejaké ďalšie riešenia navyše. (Ak by sme sa akurát trafili do vhodného typu chyby.)
Trochu sme sa rozprávali o tom, ako sme po úprave matice sústavy vyčítali z výslednej matice množinu všetkých riešení. (Napríklad sme spomenuli to, že nie vždy môžeme úplne hociktoré premenné zvoliť za parametre.)
Prešili sme niektoré príklady z 07sustavy.pdf .
Urobili sme jednu úlohu na riešenie sústavy s parametrom - konkrétne úlohu 8. Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: viewtopic.php?t=579
Ešte prepočítali poslednú sústavu v úlohe 4 - to bolo sústava nad poľom $\mathbb Z_7$, kde boli 4 neznáme a vyšli nám dva parametre.

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

10. týždeň (22.11.):
Závislosť nezávislosť, báza, riadková ekvivalencia.
Riešili sme niektoré úlohy z 08baza.pdf a 09rtm.pdf.
Pozreli sme sa na lineárnu nezávislosť funkcií $\mathbb R\to\mathbb R$ (úloha 1.5 v 08baza).
Využili sme tento príklad aj na to, že sme si pripomenuli vzorec pre $\cos2\alpha$ a $\sin2\alpha$.
Pri príkladoch s polynómami sme využili aj to, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové.
Niečo viac o tom sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1349
Vrátili sme sa k prednáškovým úlohám PU9/5 a PU9/6. (T.j. úlohy 2.4.15(5) a 2.4.15(11) z bielej knihy.) Rozmysleli sme si aj na to, že teraz keď už vieme niečo o ERO, tak tieto úlohy vieme riešiť o trochu jednoduchšie.
Ako zistiť či dané vektory tvoria bázu resp. či sú lineárne nezávislé (úloha 2.2 v 08baza). Videli sme riešenie cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Ako zistiť či vektor patrí do lineárneho obalu daných vektorov resp. či sa dva obaly rovnajú (úloha 5 v 09rtm). Opäť sme si povedali, že sa to dá riešiť cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Pridám ešte aj linku kde je vymenovaných viacero vecí, ktoré sa dajú riešiť pomocou riadkových úprav resp. pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540 (Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia.)

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.